|3x - 6| < 9 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-1, 5)Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda mutlak değer içeren bir eşitsizliği adım adım nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif veya sıfırdır. Hadi başlayalım!
Bir mutlak değer eşitsizliği olan $|u| < a$ (burada $a$ pozitif bir sayı olmalıdır) ifadesi, $u$ değerinin $-a$ ile $a$ arasında olduğunu gösterir. Yani, bu eşitsizlik $$-a < u < a$$ şeklinde yazılabilir.
Soruda verilen eşitsizlik $|3x - 6| < 9$ şeklindedir. Burada $u = 3x - 6$ ve $a = 9$'dur. Bu kuralı uygulayarak eşitsizliği şu şekilde yazabiliriz:
$$-9 < 3x - 6 < 9$$
$3x - 6$ ifadesindeki $-6$'dan kurtulmak için eşitsizliğin her üç tarafına $6$ eklememiz gerekir. Eşitsizliğin her tarafına aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak, eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
$$-9 + 6 < 3x - 6 + 6 < 9 + 6$$
Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimiz şu hale gelir:
$$-3 < 3x < 15$$
$3x$ ifadesindeki $3$ katsayısından kurtulmak için eşitsizliğin her üç tarafını $3$'e bölmemiz gerekir. Pozitif bir sayıya bölme işlemi de eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
$$\frac{-3}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{15}{3}$$
Bu işlemi yaptığımızda $x$ için çözüm aralığını buluruz:
$$-1 < x < 5$$
Bulduğumuz $-1 < x < 5$ ifadesi, $x$ değerlerinin $-1$'den büyük ve $5$'ten küçük olduğu anlamına gelir. Bu aralık, uç noktaları dahil etmediği için açık aralık olarak ifade edilir.
Çözüm kümesi: $(-1, 5)$
Bu çözüm kümesi, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
