Bu soruda, kümeler teorisinin temel ve çok önemli bir prensibini kullanarak bir çıkarım yapmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim ve bu prensibi nasıl uygulayacağımızı görelim.
-
1. Verilen Teoremi Anlayalım:
Soru bize şu teoremi veriyor: "Eğer $A \subseteq B$ ve $B \subseteq A$ ise $A = B$".
Bu teorem ne anlama geliyor?
- $A \subseteq B$ demek, "$A$ kümesinin her elemanı aynı zamanda $B$ kümesinin de elemanıdır" demektir. Yani $A$, $B$'nin içinde yer alır veya $B$'ye eşittir.
- $B \subseteq A$ demek ise, "$B$ kümesinin her elemanı aynı zamanda $A$ kümesinin de elemanıdır" demektir. Yani $B$, $A$'nın içinde yer alır veya $A$'ya eşittir.
Eğer bu iki durum aynı anda doğruysa, yani $A$, $B$'nin içinde ve $B$ de $A$'nın içindeyse, bu ancak $A$ ve $B$ kümelerinin tamamen aynı elemanlara sahip olmasıyla mümkündür. İşte bu yüzden $A = B$ sonucuna varırız.
-
2. Sorudaki Durumu Teoremle Karşılaştıralım:
Soru bize şu koşulu veriyor: "$\emptyset \subseteq A$ ve $A \subseteq \emptyset$".
Şimdi bu koşulu yukarıdaki teoremle eşleştirelim:
- Teoremde $A \subseteq B$ ifadesi var. Bizim koşulumuzda ise $\emptyset \subseteq A$ ve $A \subseteq \emptyset$ ifadeleri var.
- Eğer teoremdeki $B$ yerine boş küme ($\emptyset$) yazarsak, teorem şöyle olur: "Eğer $A \subseteq \emptyset$ ve $\emptyset \subseteq A$ ise $A = \emptyset$".
Gördüğümüz gibi, soruda verilen koşul, teoremin tam da bu özel durumuna uymaktadır.
-
3. Koşulları Tek Tek İnceleyelim:
- $\emptyset \subseteq A$: Bu ifade, "boş küme, $A$ kümesinin bir alt kümesidir" anlamına gelir. Boş küme, her kümenin bir alt kümesidir. Bu, kümeler teorisinin temel bir kuralıdır ve her zaman doğrudur. Bu koşul, $A$ kümesi hakkında herhangi bir kısıtlama getirmez, sadece genel bir gerçeği ifade eder.
- $A \subseteq \emptyset$: Bu ifade ise, "$A$ kümesi, boş kümenin bir alt kümesidir" anlamına gelir. Boş kümenin hiçbir elemanı yoktur. Eğer $A$ kümesi boş kümenin bir alt kümesi ise, $A$'nın elemanlarının da boş kümenin elemanları olması gerekir. Boş kümede eleman olmadığına göre, $A$ kümesinin de hiçbir elemanı olamaz. Bu durumda, $A$ kümesi de zorunlu olarak boş küme olmak zorundadır.
-
4. Sonuca Ulaşalım:
Hem $\emptyset \subseteq A$ (ki bu her zaman doğru) hem de $A \subseteq \emptyset$ (ki bu $A$'nın boş küme olmasını gerektirir) koşulları aynı anda verildiğinde, yukarıdaki teoremi doğrudan uygulayabiliriz.
Teorem diyor ki: Eğer bir küme ($A$) diğer kümenin ($\emptyset$) alt kümesi ise VE diğer küme ($\emptyset$) de ilk kümenin ($A$) alt kümesi ise, o zaman bu iki küme birbirine eşittir.
Dolayısıyla, $\emptyset \subseteq A$ ve $A \subseteq \emptyset$ koşulları sağlandığında, $A$ kümesi boş kümeye eşit olmak zorundadır. Yani $A = \emptyset$.
-
5. Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) A kümesi boş olamaz: Yanlış, tam tersine $A$ boş küme olmak zorundadır.
- B) A kümesi sonsuz elemanlıdır: Yanlış, $A$ boş küme olduğu için hiç elemanı yoktur.
- C) A kümesi boş kümedir: Doğru, yaptığımız çıkarım tam olarak budur.
- D) Bu durum mümkün değildir: Yanlış, bu durum mümkündür ve $A$'nın boş küme olması sonucunu doğurur.
Cevap C seçeneğidir.
