9. Sınıf Yansıma ve Öteleme Dönüşümleri Arasındaki İlişki Nedir? Test 2

4. Koordinat düzleminde B(-1,5) noktasına önce yansıma, sonra öteleme uygulandığında C(3,-2) noktası elde ediliyor. Buna göre uygulanan dönüşümler aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) x eksenine yansıma, 4 birim sağa ve 7 birim aşağı öteleme
B) y eksenine yansıma, 4 birim sağa ve 7 birim aşağı öteleme
C) orijine göre yansıma, 4 birim sağa ve 7 birim aşağı öteleme
D) x eksenine yansıma, 4 birim sola ve 7 birim yukarı öteleme

Bu soruda, bir noktanın koordinat düzleminde önce yansıma, sonra öteleme dönüşümleri uygulandıktan sonraki son konumunu bulmamız isteniyor. Başlangıç noktamız $B(-1,5)$, bitiş noktamız ise $C(3,-2)$'dir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim ve hangi dönüşümlerin $B$ noktasını $C$ noktasına taşıdığını bulmaya çalışalım.

Dönüşüm Kuralları Hatırlatması:

• Bir $(x,y)$ noktasının x eksenine göre yansıması: $(x,-y)$
• Bir $(x,y)$ noktasının y eksenine göre yansıması: $(-x,y)$
• Bir $(x,y)$ noktasının orijine göre yansıması: $(-x,-y)$
• Bir $(x,y)$ noktasının $a$ birim sağa ötelemesi: $(x+a,y)$
• Bir $(x,y)$ noktasının $a$ birim sola ötelemesi: $(x-a,y)$
• Bir $(x,y)$ noktasının $b$ birim yukarı ötelemesi: $(x,y+b)$
• Bir $(x,y)$ noktasının $b$ birim aşağı ötelemesi: $(x,y-b)$

Şimdi her bir seçeneği adım adım inceleyelim:

• A) x eksenine yansıma, 4 birim sağa ve 7 birim aşağı öteleme

  Adım 1: x eksenine yansıma

  $B(-1,5)$ noktası x eksenine göre yansıtıldığında, y koordinatının işareti değişir. Yeni noktamız $B'(-1, -5)$ olur.

  Adım 2: 4 birim sağa ve 7 birim aşağı öteleme

  $B'(-1, -5)$ noktasını 4 birim sağa ötelemek için x koordinatına $4$ ekleriz. 7 birim aşağı ötelemek için y koordinatından $7$ çıkarırız.

  Sonuç: $(-1+4, -5-7) = (3, -12)$

  Elde ettiğimiz nokta $(3, -12)$'dir. Hedef noktamız $C(3,-2)$ idi. Bu durumda x koordinatları eşleşirken, y koordinatları farklıdır.

• B) y eksenine yansıma, 4 birim sağa ve 7 birim aşağı öteleme

  Adım 1: y eksenine yansıma

  $B(-1,5)$ noktası y eksenine göre yansıtıldığında, x koordinatının işareti değişir. Yeni noktamız $B''(1, 5)$ olur.

  Adım 2: 4 birim sağa ve 7 birim aşağı öteleme

  $B''(1, 5)$ noktasını 4 birim sağa ötelemek için x koordinatına $4$ ekleriz. 7 birim aşağı ötelemek için y koordinatından $7$ çıkarırız.

  Sonuç: $(1+4, 5-7) = (5, -2)$

  Elde ettiğimiz nokta $(5, -2)$'dir. Hedef noktamız $C(3,-2)$ idi. Bu durumda y koordinatları eşleşirken, x koordinatları farklıdır.

• C) orijine göre yansıma, 4 birim sağa ve 7 birim aşağı öteleme

  Adım 1: orijine göre yansıma

  $B(-1,5)$ noktası orijine göre yansıtıldığında, hem x hem de y koordinatlarının işaretleri değişir. Yeni noktamız $B'''(1, -5)$ olur.

  Adım 2: 4 birim sağa ve 7 birim aşağı öteleme

  $B'''(1, -5)$ noktasını 4 birim sağa ötelemek için x koordinatına $4$ ekleriz. 7 birim aşağı ötelemek için y koordinatından $7$ çıkarırız.

  Sonuç: $(1+4, -5-7) = (5, -12)$

  Elde ettiğimiz nokta $(5, -12)$'dir. Hedef noktamız $C(3,-2)$ ile aynı değildir.

• D) x eksenine yansıma, 4 birim sola ve 7 birim yukarı öteleme

  Adım 1: x eksenine yansıma

  $B(-1,5)$ noktası x eksenine göre yansıtıldığında, y koordinatının işareti değişir. Yeni noktamız $B'(-1, -5)$ olur.

  Adım 2: 4 birim sola ve 7 birim yukarı öteleme

  $B'(-1, -5)$ noktasını 4 birim sola ötelemek için x koordinatından $4$ çıkarırız. 7 birim yukarı ötelemek için y koordinatına $7$ ekleriz.

  Sonuç: $(-1-4, -5+7) = (-5, 2)$

  Elde ettiğimiz nokta $(-5, 2)$'dir. Hedef noktamız $C(3,-2)$ ile aynı değildir.

Tüm seçenekleri incelediğimizde, verilen dönüşümlerin hiçbiri $B(-1,5)$ noktasını tam olarak $C(3,-2)$ noktasına taşımamaktadır. Ancak, seçenek A'da elde ettiğimiz $(3, -12)$ noktasının x koordinatı, hedef noktamız $C(3,-2)$'nin x koordinatı ile tamamen aynıdır. Y koordinatındaki fark, öteleme miktarında bir yazım hatası olabileceğini düşündürmektedir (eğer "7 birim aşağı" yerine "3 birim yukarı" olsaydı, sonuç tam olarak $C(3,-2)$ olurdu).

Sorunun yapısı ve seçeneklerin genellikle bir doğru cevabı işaret etmesi beklentisiyle, x koordinatını doğru veren ve y koordinatında küçük bir düzeltme ile hedefe ulaşabilecek olan A seçeneği, sorunun kastedilen cevabı olarak kabul edilebilir.

Cevap A seçeneğidir.