iⁿ sayısının değerlerinin periyodik olarak tekrar ettiği bilinmektedir. Buna göre, i²⁰²³ + i²⁰²⁴ + i²⁰²⁵ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) iKarmaşık sayılarda $i$'nin kuvvetleri belirli bir periyotla tekrar eder. Bu periyodu ve $i$'nin ilk dört kuvvetini hatırlayarak işleme başlayalım:
Bu döngü her 4 kuvvette bir tekrar eder. Yani, bir $i^n$ ifadesinin değerini bulmak için $n$ sayısının 4 ile bölümünden kalanı kullanırız. Eğer kalan 0 ise, kuvvet $i^4 = 1$ olarak alınır.
Şimdi verilen ifadeyi adım adım inceleyelim: $i^{2023} + i^{2024} + i^{2025}$
$2023$ sayısının $4$ ile bölümünden kalanı bulalım. Bir sayının $4$ ile bölümünden kalanı, son iki basamağının $4$ ile bölümünden kalanı ile aynıdır. $23$'ün $4$ ile bölümünden kalan $3$'tür ($23 = 4 \times 5 + 3$).
Bu durumda, $i^{2023} = i^3 = -i$ olur.
$2024$ sayısının $4$ ile bölümünden kalanı bulalım. $24$'ün $4$ ile bölümünden kalan $0$'dır ($24 = 4 \times 6 + 0$).
Kalan $0$ olduğunda, kuvvet $i^4$ olarak alınır. Bu durumda, $i^{2024} = i^4 = 1$ olur.
$2025$ sayısının $4$ ile bölümünden kalanı bulalım. $25$'in $4$ ile bölümünden kalan $1$'dir ($25 = 4 \times 6 + 1$).
Bu durumda, $i^{2025} = i^1 = i$ olur.
Şimdi bu değerleri toplayalım:
İşlemin sonucu $1$ olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
