Soru:
\( i^{2} + i^{4} + i^{6} + ... + i^{202} \) toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm:
💡 Bu bir seri toplamıdır. Terimlerin periyodik olarak \( i^2 = -1, i^4 = 1, i^6 = -1, i^8 = 1, ... \) şeklinde gittiğini görüyoruz. Çift kuvvetlerde sonuç -1 veya 1'dir.
- ➡️ Adım 1: Terimlerin kuvvetlerini inceleyelim: 2, 4, 6, ..., 202. Bu bir aritmetik dizi: İlk terim 2, son terim 202, artış miktarı 2.
- ➡️ Adım 2: Terim sayısını bulalım: \( n = \frac{(Son\ Terim - İlk\ Terim)}{Artış\ Miktarı} + 1 = \frac{202-2}{2} + 1 = \frac{200}{2} + 1 = 100 + 1 = 101 \).
- ➡️ Adım 3: Her dörtlü grupta (örneğin \( i^2, i^4, i^6, i^8 \)) toplam: \( (-1) + 1 + (-1) + 1 = 0 \).
- ➡️ Adım 4: 101 terim var. 101 / 4 = 25 tam grup ve 1 tane artan terim (kalan 1). 25 grubun toplamı 0'dır. Artan terim, 101. terimdir. 101. terimin kuvvetini bulalım: \( 2 + (101-1)*2 = 202 \). Yani son terim zaten \( i^{202} \).
- ➡️ Adım 5: \( i^{202} \) için üssü 4'e bölelim: \( 202 \div 4 = 50 \) ve kalan \( 2 \). Yani \( i^{202} = i^{2} = -1 \).
✅ Sonuç: Toplam = (25 x 0) + (-1) = -1.
