Soru:
\( (1 + i^3)^{10} \) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm:
💡 Önce parantez içini, \( i \)'nin kuvvetlerini kullanarak sadeleştirelim, sonra üssü alalım.
- ➡️ Adım 1: \( i^3 = -i \) olduğunu biliyoruz.
- ➡️ Adım 2: Parantez içini yazalım: \( 1 + i^3 = 1 + (-i) = 1 - i \).
- ➡️ Adım 3: Soru artık \( (1 - i)^{10} \) haline geldi. Bunu çözmek için \( (1-i)^2 \)'yi hesaplayıp periyodik bir yapı arayabiliriz.
- ➡️ Adım 4: \( (1 - i)^2 = 1^2 - 2\cdot1\cdot i + (i)^2 = 1 - 2i + (-1) = -2i \).
- ➡️ Adım 5: O halde \( (1 - i)^{10} = [(1 - i)^2]^{5} = (-2i)^{5} \).
- ➡️ Adım 6: \( (-2i)^{5} = (-2)^5 \cdot i^5 = -32 \cdot i^5 \).
- ➡️ Adım 7: \( i^5 \) için üssü 4'e bölelim: \( 5 \div 4 = 1 \) ve kalan \( 1 \). Yani \( i^5 = i^{1} = i \).
- ➡️ Adım 8: Yerine koyalım: \( -32 \cdot i \).
✅ Sonuç: \( (1 + i^3)^{10} = -32i \).
