Karmaşık sayılarda çarpma Test 3

z = 1 + i karmaşık sayısının karesi alındığında elde edilen sayının gerçek ve sanal kısımlarının toplamı kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir karmaşık sayının karesini alıp, elde ettiğimiz yeni karmaşık sayının gerçek ve sanal kısımlarının toplamını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Verilen Karmaşık Sayıyı Belirleyelim

Bize verilen karmaşık sayı $z = 1 + i$'dir.

• 2. Adım: Karmaşık Sayının Karesini Alalım

Bir karmaşık sayının karesini almak için, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliğini kullanabiliriz. Burada $a=1$ ve $b=i$ olacaktır. Şimdi $z$'nin karesini alalım:

• $z^2 = (1 + i)^2$
• $z^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2$
• 3. Adım: $i^2$ Değerini Kullanarak İfadeyi Sadeleştirelim

Karmaşık sayılarda $i^2 = -1$ olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi yukarıdaki ifadede yerine koyalım:

• $z^2 = 1 + 2i + (-1)$
• $z^2 = 1 + 2i - 1$
• $z^2 = 2i$

Böylece, $z^2 = 2i$ sonucunu elde ederiz.

• 4. Adım: Elde Edilen Sayının Gerçek ve Sanal Kısımlarını Ayıralım

Elde ettiğimiz $z^2 = 2i$ karmaşık sayısını genel $a + bi$ formunda yazarsak, $0 + 2i$ olarak düşünebiliriz.

• Bu durumda, sayının gerçek kısmı (reel kısmı) $0$'dır.
• Sayının sanal kısmı (imajiner kısmı) $i$'nin katsayısıdır, yani $2$'dir.
• 5. Adım: Gerçek ve Sanal Kısımları Toplayalım

Son olarak, bulduğumuz gerçek ve sanal kısımları toplayalım:

• Gerçek kısım + Sanal kısım $= 0 + 2 = 2$

Elde edilen sayının gerçek ve sanal kısımlarının toplamı $2$'dir.

Cevap C seçeneğidir.