Karmaşık sayılarla ilgili aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu diğerlerinden farklıdır?
A) (2 + i)(2 - i)Sevgili öğrenciler, bu soruda karmaşık sayılarla yapılan dört farklı işlemin sonuçlarını bulup, hangisinin diğerlerinden farklı olduğunu belirleyeceğiz. Karmaşık sayılarla işlem yaparken dikkatli olmak ve temel özellikleri doğru uygulamak çok önemlidir.
Bu işlem, bir karmaşık sayı ile eşleniğinin çarpımıdır. Genel olarak, bir karmaşık sayı $a+bi$ ve onun eşleniği $a-bi$ çarpıldığında sonuç $a^2 + b^2$ olur. Burada $a=2$ ve $b=1$'dir.
Bu kuralı uygulayarak: $(2 + i)(2 - i) = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.
Bu da yine eşlenik karmaşık sayıların çarpımıdır. Burada $a=1$ ve $b=2$'dir.
Bu kuralı uygulayarak: $(1 + 2i)(1 - 2i) = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Bu ifade de eşlenik karmaşık sayıların çarpımıdır. Burada $a=3$ ve $b=0$'dır. Aslında $(3+0i)$ sayısı $3$'e eşittir, dolayısıyla bu işlem $3 \times 3$ şeklinde de düşünülebilir.
Bu kuralı uygulayarak: $(3 + 0i)(3 - 0i) = 3^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9$.
Bu işlemi adım adım yapacağız. Önce $(1+i)^2$ ifadesini bulalım:
$(1 + i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2$
Karmaşık sayılarda $i^2 = -1$ olduğunu hatırlayalım.
$(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.
Şimdi bu sonucu kullanarak $(1 + i)^4$ ifadesini bulalım:
$(1 + i)^4 = ((1 + i)^2)^2 = (2i)^2$
$(2i)^2 = 2^2 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$.
Şimdi bulduğumuz sonuçları karşılaştıralım:
A, B ve C seçeneklerinin her biri, bir karmaşık sayı ile eşleniğinin çarpımı sonucunda elde edilen ve daima pozitif bir reel sayı olan sonuçlardır ($5$, $5$, $9$). Ancak D seçeneğinin sonucu olan $-4$, negatif bir reel sayıdır. Bu özelliği ile D seçeneğinin sonucu diğerlerinden farklıdır.
Cevap D seçeneğidir.
