z = x + yi karmaşık sayısı için z·z̅ = 25 eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre |z| kaçtır?
A) 5Bu soruyu çözmek için karmaşık sayının tanımını, eşleniğini ve mutlak değerini (modülünü) hatırlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir karmaşık sayı $z = x + yi$ şeklinde ifade edilir. Burada $x$ sayının gerçel kısmı (reel kısım) ve $y$ ise sanal kısmı (imajiner kısım) olarak adlandırılır. $i$ ise sanal birimdir ve $i^2 = -1$ özelliğine sahiptir.
Bir karmaşık sayının eşleniği (konjuge) ise, sanal kısmının işaretinin değiştirilmesiyle elde edilir. Yani, $z = x + yi$ ise, eşleniği $\bar{z} = x - yi$ olur.
Şimdi $z$ ile $\bar{z}$'yi çarpalım:
$z \cdot \bar{z} = (x + yi)(x - yi)$
Bu ifadeyi iki kare farkı özdeşliğini ($ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $) kullanarak açabiliriz:
$z \cdot \bar{z} = x^2 - (yi)^2$
$z \cdot \bar{z} = x^2 - y^2i^2$
$i^2 = -1$ olduğunu biliyoruz, bu değeri yerine koyalım:
$z \cdot \bar{z} = x^2 - y^2(-1)$
$z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2$
Demek ki, bir karmaşık sayı ile eşleniğinin çarpımı, gerçel kısmının karesi ile sanal kısmının karesinin toplamına eşittir: $z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2$.
Bir karmaşık sayının mutlak değeri veya modülü, başlangıç noktasından (orijin) karmaşık düzlemdeki noktasına olan uzaklığıdır ve $|z|$ ile gösterilir.
Pisagor teoremini kullanarak bu uzaklığı bulabiliriz: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Bu tanıma göre, $|z|^2 = x^2 + y^2$ olduğunu görebiliriz.
Önceki adımlarda bulduğumuz iki önemli ilişkiyi birleştirelim:
1. $z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2$
2. $|z|^2 = x^2 + y^2$
Bu iki eşitlikten, $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ sonucuna varırız. Bu, karmaşık sayılar konusunda çok önemli bir özelliktir.
Soruda bize $z \cdot \bar{z} = 25$ eşitliği verilmiş.
Bu durumda, $z \cdot \bar{z}$ yerine $|z|^2$ yazabiliriz:
$|z|^2 = 25$
Şimdi $|z|$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
$\sqrt{|z|^2} = \sqrt{25}$
$|z| = 5$
Mutlak değer (modül) her zaman pozitif veya sıfır olacağı için, sadece pozitif karekök değerini alırız.
Cevap A seçeneğidir.
