Karmaşık sayılarda çarpma Test 3

Bir fizik deneyinde, iki dalganın girişim deseni z₁ = 2(cos60° + isin60°) ve z₂ = 3(cos30° + isin30°) karmaşık sayılarıyla modellenmiştir. Sonuç dalganın genliği |z₁·z₂| olduğuna göre bu genlik kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 8
D) 12

Bu soruda, fizik deneyinde iki dalganın karmaşık sayılarla modellenmesini ve sonuç dalganın genliğini bulmamızı istiyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilenleri Anlayalım:

  Bize iki dalga için karmaşık sayılar verilmiş:

  Birinci dalga: $z_1 = 2(\cos60^\circ + i\sin60^\circ)$

  İkinci dalga: $z_2 = 3(\cos30^\circ + i\sin30^\circ)$

  Sonuç dalganın genliği $|z_1 \cdot z_2|$ olarak tanımlanmış. Bizden bu genliği bulmamız isteniyor.

• 2. Karmaşık Sayıların Genliklerini (Mutlak Değerlerini) Belirleyelim:

  Bir karmaşık sayı $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ şeklinde verildiğinde, $r$ değeri o karmaşık sayının genliğini (mutlak değerini) temsil eder. Bu durumda:

  $z_1$ için genlik $r_1 = |z_1| = 2$'dir.

  $z_2$ için genlik $r_2 = |z_2| = 3$'tür.

• 3. Karmaşık Sayıların Çarpımının Genliği Kuralını Hatırlayalım:

  İki karmaşık sayının çarpımının genliği, bu sayıların ayrı ayrı genliklerinin çarpımına eşittir. Yani:

  $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

• 4. Sonuç Dalganın Genliğini Hesaplayalım:

  Yukarıdaki kuralı kullanarak, sonuç dalganın genliğini kolayca bulabiliriz:

  $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 2 \cdot 3 = 6$

Buna göre, sonuç dalganın genliği $6$'dır.

Cevap B seçeneğidir.