Deneme yöntemi ile ispat Test 2

Bir matematikçi "Her pozitif tam sayı, iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir" hipotezini test ediyor. Deneme yöntemiyle aşağıdaki sayılardan hangisi bu hipotezi desteklemez?

A) 8 (3+5)
B) 12 (5+7)
C) 15 (2+13)
D) 23 (asal olduğu için)

Bu soruda, bir matematikçinin "Her pozitif tam sayı, iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir" hipotezini test ediyoruz. Bu hipotezi desteklemeyen sayıyı bulmak için verilen seçenekleri deneme yöntemiyle incelememiz gerekiyor.

Öncelikle, temel kavramları hatırlayalım:

• Pozitif tam sayı: $1, 2, 3, 4, ...$ gibi sayılardır.
• Asal sayı: $1$'den büyük, kendisinden ve $1$'den başka pozitif tam sayı böleni olmayan sayılardır. İlk birkaç asal sayı şunlardır: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...$ (Unutmayın, $1$ asal sayı değildir.)

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) 8:

  Hipoteze göre $8$ sayısını iki asal sayının toplamı olarak yazabiliyor muyuz bakalım.

  Asal sayılar listemizden deneyelim:

  • $2 + 2 = 4$ (Değil)
  • $2 + 3 = 5$ (Değil)
  • $3 + 5 = 8$ (Evet!)

  Gördüğümüz gibi, $8$ sayısı $3$ ve $5$ asal sayılarının toplamı olarak yazılabilir ($3+5=8$). Bu durum hipotezi destekler.

• B) 12:

  Hipoteze göre $12$ sayısını iki asal sayının toplamı olarak yazabiliyor muyuz bakalım.

  Asal sayılar listemizden deneyelim:

  • $2 + ?$ (Gereken sayı $10$, asal değil)
  • $3 + ?$ (Gereken sayı $9$, asal değil)
  • $5 + 7 = 12$ (Evet!)

  Gördüğümüz gibi, $12$ sayısı $5$ ve $7$ asal sayılarının toplamı olarak yazılabilir ($5+7=12$). Bu durum hipotezi destekler.

• C) 15:

  Hipoteze göre $15$ sayısını iki asal sayının toplamı olarak yazabiliyor muyuz bakalım.

  Asal sayılar listemizden deneyelim:

  • $2 + 13 = 15$ (Evet!)

  Gördüğümüz gibi, $15$ sayısı $2$ ve $13$ asal sayılarının toplamı olarak yazılabilir ($2+13=15$). Bu durum hipotezi destekler.

• D) 23:

  Hipoteze göre $23$ sayısını iki asal sayının toplamı olarak yazabiliyor muyuz bakalım.

  Asal sayılar listemizden $23$'ten küçük olanları kullanarak deneyelim: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$.

  • Eğer ilk asal sayı $2$ ise, ikinci asal sayı $23 - 2 = 21$ olmalı. $21$ asal sayı değildir ($3 \times 7 = 21$).
  • Eğer ilk asal sayı $3$ ise, ikinci asal sayı $23 - 3 = 20$ olmalı. $20$ asal sayı değildir ($2 \times 10 = 20$).
  • Eğer ilk asal sayı $5$ ise, ikinci asal sayı $23 - 5 = 18$ olmalı. $18$ asal sayı değildir ($2 \times 9 = 18$).
  • Eğer ilk asal sayı $7$ ise, ikinci asal sayı $23 - 7 = 16$ olmalı. $16$ asal sayı değildir ($2 \times 8 = 16$).
  • Eğer ilk asal sayı $11$ ise, ikinci asal sayı $23 - 11 = 12$ olmalı. $12$ asal sayı değildir ($2 \times 6 = 12$).
  • Bundan sonraki asal sayılar ($13, 17, 19$) için denemeye devam etmemize gerek yok, çünkü toplamın $23$ olması için gereken ikinci sayı, ilk sayıdan daha küçük olacaktır ve bu durumları zaten daha önce kontrol etmiş oluruz (örneğin, $13 + 10$ için $10$ asal değil, $17 + 6$ için $6$ asal değil, $19 + 4$ için $4$ asal değil).

  Gördüğümüz gibi, $23$ sayısını iki asal sayının toplamı olarak yazamıyoruz. Bu durum hipotezi desteklemez.

  Soruda "asal olduğu için" ifadesi yanıltıcı olabilir. Bir sayının asal olması, iki asal sayının toplamı olarak yazılamayacağı anlamına gelmez. Örneğin, $5$ asal bir sayıdır ama $2+3=5$ şeklinde iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. Önemli olan, o sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılıp yazılamadığıdır.

Bu denemeler sonucunda, $23$ sayısının iki asal sayının toplamı olarak yazılamadığını bulduk. Dolayısıyla bu sayı, hipotezi desteklemeyen sayıdır.

Cevap D seçeneğidir.