10. Sınıf Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları Test 2

A(1,3), B(7,5) ve C(4,9) noktaları veriliyor. Bu noktalar bir üçgenin köşeleri olduğuna göre, ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?

A) 12
B) 15
C) 18
D) 21

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulmak için köşelerin koordinatlarını kullanırız. Ağırlık merkezi, üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır ve koordinatları, köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur.

Verilen noktalar $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ve $C(x_3, y_3)$ ise, ağırlık merkezinin $G(x_G, y_G)$ koordinatları aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

• Ağırlık merkezinin x-koordinatı: $x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
• Ağırlık merkezinin y-koordinatı: $y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

Şimdi, soruda verilen noktaların koordinatlarını bu formüllerde yerine yazarak ağırlık merkezinin koordinatlarını adım adım bulalım:

• Verilen noktalar: $A(1,3)$, $B(7,5)$ ve $C(4,9)$.
• Bu durumda, $x_1 = 1$, $y_1 = 3$; $x_2 = 7$, $y_2 = 5$; $x_3 = 4$, $y_3 = 9$'dur.

1. Ağırlık merkezinin x-koordinatını hesaplayalım:

• $x_G = \frac{1 + 7 + 4}{3}$
• $x_G = \frac{12}{3}$
• $x_G = 4$

2. Ağırlık merkezinin y-koordinatını hesaplayalım:

• $y_G = \frac{3 + 5 + 9}{3}$
• $y_G = \frac{17}{3}$

Buna göre, üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları $G\left(4, \frac{17}{3}\right)$'tür.

3. Ağırlık merkezinin koordinatları toplamını bulalım:

• Koordinatlar toplamı $= x_G + y_G$
• Koordinatlar toplamı $= 4 + \frac{17}{3}$
• Koordinatlar toplamı $= \frac{4 \times 3}{3} + \frac{17}{3}$
• Koordinatlar toplamı $= \frac{12}{3} + \frac{17}{3}$
• Koordinatlar toplamı $= \frac{12 + 17}{3}$
• Koordinatlar toplamı $= \frac{29}{3}$

Hesaplamalar sonucunda ağırlık merkezinin koordinatları toplamı $\frac{29}{3}$ olarak bulunmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.