Bir üçgenin ağırlık merkezi G(4,6) noktasıdır. Köşelerden ikisi A(2,3) ve B(5,9) olduğuna göre, üçüncü köşe C'nin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3,4)
B) (4,5)
C) (5,6)
D) (6,7)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir üçgenin ağırlık merkezinin (centroid) koordinatları ve iki köşesinin koordinatları verilmiş. Bizden üçüncü köşenin koordinatlarını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için ağırlık merkezinin koordinatları formülünü bilmemiz yeterlidir.
- Ağırlık Merkezi Nedir?
Bir üçgende, her köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasına "kenarortay" denir. Üç kenarortayın kesiştiği noktaya ise "ağırlık merkezi" (veya sentroid) denir. Genellikle $G$ harfi ile gösterilir.
- Ağırlık Merkezi Koordinatları Formülü:
Eğer bir üçgenin köşeleri $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ ve $C(x_C, y_C)$ ise, ağırlık merkezi $G(x_G, y_G)$'nin koordinatları şu formülle bulunur:
$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$
- Verilen Bilgileri Belirleyelim:
Soruda bize verilenler şunlardır:
- Ağırlık merkezi $G(4,6)$, yani $x_G = 4$ ve $y_G = 6$.
- Birinci köşe $A(2,3)$, yani $x_A = 2$ ve $y_A = 3$.
- İkinci köşe $B(5,9)$, yani $x_B = 5$ ve $y_B = 9$.
- Üçüncü köşe $C(x_C, y_C)$'yi arıyoruz.
- $x$ Koordinatını Bulalım:
Ağırlık merkezinin $x$ koordinatı formülünü kullanarak $x_C$'yi bulalım:
$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
$4 = \frac{2 + 5 + x_C}{3}$
Şimdi denklemi çözelim:
$4 \times 3 = 2 + 5 + x_C$
$12 = 7 + x_C$
$x_C = 12 - 7$
$x_C = 5$
- $y$ Koordinatını Bulalım:
Ağırlık merkezinin $y$ koordinatı formülünü kullanarak $y_C$'yi bulalım:
$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$
$6 = \frac{3 + 9 + y_C}{3}$
Şimdi denklemi çözelim:
$6 \times 3 = 3 + 9 + y_C$
$18 = 12 + y_C$
$y_C = 18 - 12$
$y_C = 6$
- Sonuç:
Böylece üçüncü köşe $C$'nin koordinatlarını $(x_C, y_C) = (5,6)$ olarak bulduk.
Şimdi bulduğumuz bu koordinatları seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) (3,4)
- B) (4,5)
- C) (5,6)
- D) (6,7)
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz $C(5,6)$ koordinatları C seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
