ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. |BG| = 6 cm ve |GE| = 3 cm olduğuna göre (E, AC kenarının orta noktasıdır), |BE| kenarortay uzunluğu kaç cm'dir?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için üçgenlerde ağırlık merkezi ve kenarortay özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Ağırlık Merkezi ve Kenarortay İlişkisi: Bir üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru $2:1$ oranında böler. Yani, kenarortayın köşeden ağırlık merkezine kadar olan kısmı, ağırlık merkezinden kenarın orta noktasına kadar olan kısmın iki katıdır. Matematiksel olarak, eğer BE bir kenarortay ve G ağırlık merkezi ise, $|BG| = 2 \cdot |GE|$ olur.
- 2. Verilen Bilgiler: Soru bize şu bilgileri veriyor:
ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir.
E noktası, AC kenarının orta noktasıdır. Bu bilgi, BE doğru parçasının B köşesinden çıkan bir kenarortay olduğunu gösterir.
B köşesinden ağırlık merkezine kadar olan kısım $|BG| = 6$ cm olarak verilmiş.
Ağırlık merkezinden kenarın orta noktasına kadar olan kısım $|GE| = 3$ cm olarak verilmiş.
- 3. Oran Kontrolü: Ağırlık merkezinin kenarortayı bölme oranını kontrol edelim. Verilen değerler için $|BG| = 6$ cm ve $|GE| = 3$ cm olduğundan, $|BG| / |GE| = 6 / 3 = 2 / 1$. Bu oran, G'nin gerçekten de BE kenarortayının ağırlık merkezi olduğunu ve kenarortayı doğru oranda böldüğünü doğrular.
- 4. Kenarortayın Toplam Uzunluğunu Bulma: BE kenarortayının toplam uzunluğu, ağırlık merkezi tarafından bölünen iki parçanın uzunluklarının toplamına eşittir.
$|BE| = |BG| + |GE|$
Şimdi verilen değerleri yerine koyalım:
$|BE| = 6 \text{ cm} + 3 \text{ cm}$
$|BE| = 9 \text{ cm}$
Bu durumda, BE kenarortayının uzunluğu $9$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
