Dairenin alanı formülü (π * r²) Test 2

Bir dairenin yarıçapı %50 artırılırsa alanı yüzde kaç artar?

A) 50
B) 100
C) 125
D) 150

Bu problemde, bir dairenin yarıçapı belirli bir oranda artırıldığında alanının yüzde kaç artacağını bulmamız isteniyor. Dairenin alanı formülünü ve yüzde artış hesaplamalarını kullanarak adım adım ilerleyelim.

• 1. Adım: Başlangıç Durumunu Belirleyelim

  Dairenin başlangıçtaki yarıçapına $r$ diyelim. Bu durumda, dairenin başlangıçtaki alanı $A_1$ şu formülle bulunur:

  $A_1 = \pi r^2$

• 2. Adım: Yarıçaptaki Artışı Hesaplayalım

  Soruda yarıçapın %50 artırıldığı belirtiliyor. Bu, yarıçapın kendisinin yarısı kadar daha artması demektir. Yeni yarıçapı $r'$ ile gösterelim:

  Artış miktarı $= r \times 0.50 = 0.5r$

  Yeni yarıçap $r' = r + 0.5r = 1.5r$

• 3. Adım: Yeni Alanı Hesaplayalım

  Yeni yarıçap $r'$ ile dairenin yeni alanı $A_2$ şu şekilde hesaplanır:

  $A_2 = \pi (r')^2$

  $A_2 = \pi (1.5r)^2$

  $A_2 = \pi (1.5^2 \times r^2)$

  $A_2 = \pi (2.25 \times r^2)$

  $A_2 = 2.25 \pi r^2$

• 4. Adım: Alandaki Artış Miktarını Bulalım

  Alandaki artış miktarını bulmak için yeni alandan başlangıçtaki alanı çıkarırız:

  Artış Miktarı $= A_2 - A_1$

  Artış Miktarı $= 2.25 \pi r^2 - \pi r^2$

  Artış Miktarı $= (2.25 - 1) \pi r^2$

  Artış Miktarı $= 1.25 \pi r^2$

• 5. Adım: Yüzde Artışı Hesaplayalım

  Yüzde artışı bulmak için alandaki artış miktarını başlangıçtaki alana böler ve sonucu 100 ile çarparız:

  Yüzde Artış $= \frac{\text{Artış Miktarı}}{\text{Başlangıç Alanı}} \times 100\%$

  Yüzde Artış $= \frac{1.25 \pi r^2}{\pi r^2} \times 100\%$

  Burada $\pi r^2$ ifadeleri sadeleşir:

  Yüzde Artış $= 1.25 \times 100\%$

  Yüzde Artış $= 125\%$

Gördüğümüz gibi, yarıçap %50 artırıldığında dairenin alanı %125 artar.

Cevap C seçeneğidir.