9. Sınıf İki Üçgenin Eş veya Benzer Olması İçin Gerekli Asgari Koşullar Nedir? Test 2

ABC ve DEF üçgenlerinde |AB|=6 cm, |AC|=8 cm, |BC|=10 cm ve |DE|=9 cm, |DF|=12 cm, |EF|=15 cm'dir. Bu üçgenlerin benzerlik oranı nedir?

A) 1/2
B) 2/3
C) 3/2
D) 3/4

Bu soruda, iki üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bizden bu üçgenlerin benzerlik oranını bulmamız isteniyor. İki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzerlik oranını bulmak için kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye bakmamız gerekir.

• Adım 1: Verilen Kenar Uzunluklarını Belirleyelim

  ABC üçgeni için kenar uzunlukları: $|AB|=6$ cm, $|AC|=8$ cm, $|BC|=10$ cm.

  DEF üçgeni için kenar uzunlukları: $|DE|=9$ cm, $|DF|=12$ cm, $|EF|=15$ cm.

• Adım 2: Üçgenlerin Benzerliğini Kontrol Edelim (Kenar-Kenar-Kenar Benzerliği)

  İki üçgenin benzer olması için, karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarının birbirine eşit olması gerekir. Bunun için, her iki üçgendeki kenarları küçükten büyüğe doğru sıralayalım ve karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım.

  ABC üçgenindeki kenarlar (küçükten büyüğe): $6$ cm, $8$ cm, $10$ cm.

  DEF üçgenindeki kenarlar (küçükten büyüğe): $9$ cm, $12$ cm, $15$ cm.

  Şimdi karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım:

  En kısa kenarların oranı: $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9}$

  Orta kenarların oranı: $\frac{|AC|}{|DF|} = \frac{8}{12}$

  En uzun kenarların oranı: $\frac{|BC|}{|EF|} = \frac{10}{15}$

• Adım 3: Oranları Sadeleştirelim ve Karşılaştıralım

  Hesapladığımız oranları sadeleştirelim:

  $\frac{6}{9}$ kesrini sadeleştirirsek (her iki tarafı $3$'e bölerek): $\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$

  $\frac{8}{12}$ kesrini sadeleştirirsek (her iki tarafı $4$'e bölerek): $\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$

  $\frac{10}{15}$ kesrini sadeleştirirsek (her iki tarafı $5$'e bölerek): $\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$

  Gördüğümüz gibi, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir ve hepsi $\frac{2}{3}$'e eşittir. Bu durum, ABC ve DEF üçgenlerinin benzer olduğunu gösterir.

• Adım 4: Benzerlik Oranını Belirleyelim

  Kenarların oranları eşit olduğu için, bu oran aynı zamanda üçgenlerin benzerlik oranıdır. Yani, ABC üçgeninin DEF üçgenine benzerlik oranı $\frac{2}{3}$'tür.

  Ek bilgi: Bu üçgenlerin aynı zamanda dik üçgenler olduğunu fark edebiliriz. ABC üçgeni için Pisagor teoremini kontrol edelim: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Bu da $10^2$'ye eşittir. Yani $|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$. Benzer şekilde DEF üçgeni için: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. Bu da $15^2$'ye eşittir. Yani $|DE|^2 + |DF|^2 = |EF|^2$. Her iki üçgen de dik üçgendir ve kenarları orantılı olduğu için benzerdirler.

Cevap B seçeneğidir.