Bir eşit kollu terazide, kütlesi bilinmeyen X cismi sol kefeye konulduğunda, sağ kefede 80 gramlık kütle ile denge sağlanıyor. Aynı X cismi sağ kefeye konulduğunda ise sol kefede 20 gramlık kütle ile denge sağlanıyor. Buna göre X cisminin kütlesi kaç gramdır?
A) 40Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, bir terazinin denge prensibini anlamamızı gerektiren güzel bir soru. Terazilerde denge, kütlelerin terazi kol uzunluklarıyla çarpımının (yani torkların veya momentlerin) eşit olmasıyla sağlanır. Eğer terazi kolları eşit uzunlukta değilse (ki bu problemde durum böyle olabilir), bu durumu denklemlerle ifade etmemiz gerekir.
Öncelikle, bilmediğimiz değerleri ve terazi kollarını tanımlayalım:
Sorunun ilk kısmında, X cismi sol kefeye konulduğunda, sağ kefede 80 gramlık kütle ile denge sağlanıyor.
Denge prensibine göre, sol taraftaki tork (moment) sağ taraftaki torka eşit olmalıdır:
$m_X \cdot L_1 = 80 \cdot L_2$ (Denklem 1)
Sorunun ikinci kısmında, aynı X cismi sağ kefeye konulduğunda ise sol kefede 20 gramlık kütle ile denge sağlanıyor.
Yine denge prensibine göre:
$20 \cdot L_1 = m_X \cdot L_2$ (Denklem 2)
Şimdi elimizde iki denklem ve üç bilinmeyen ($m_X$, $L_1$, $L_2$) var. Amacımız $m_X$ değerini bulmak. $L_1$ ve $L_2$ değerlerini bilmediğimiz için, bu iki denklemi kullanarak onları ortadan kaldırmamız gerekiyor.
Denklem 1'den $L_1$ oranını çekelim:
$L_1 = \frac{80 \cdot L_2}{m_X}$
Bu $L_1$ ifadesini Denklem 2'de yerine yazalım:
$20 \cdot \left(\frac{80 \cdot L_2}{m_X}\right) = m_X \cdot L_2$
Denklemin her iki tarafında da $L_2$ terimi olduğu için, $L_2$ terimlerini sadeleştirebiliriz (çünkü bir terazi kolunun uzunluğu sıfır olamaz).
$20 \cdot \frac{80}{m_X} = m_X$
Şimdi denklemi $m_X$ için çözelim:
$1600 = m_X \cdot m_X$
$1600 = m_X^2$
$m_X = \sqrt{1600}$
$m_X = 40$ gram
(Kütle negatif olamayacağı için pozitif kökü alırız.)
Buna göre X cisminin kütlesi 40 gramdır.
Cevap A seçeneğidir.
