Aşağıdaki sayı doğrusunda gösterilen \( A \) ve \( B \) kümelerinin birleşimi hangi aralıktır?
\( A = [-2, 3] \), \( B = [1, 5) \)
Bu soruda, verilen iki kümenin birleşimini bulmamız isteniyor. Kümeler sayı doğrusu üzerinde belirli aralıkları temsil ediyor. Birleşimi bulmak için, her iki kümenin kapsadığı tüm sayıları bir araya getirmemiz gerekir.
Öncelikle, verilen kümelerin ne anlama geldiğini hatırlayalım:
$A = [-2, 3]$ kümesi, $-2$ ve $3$ dahil olmak üzere, bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $x$ bir eleman ise, $-2 \le x \le 3$ koşulunu sağlar. Köşeli parantez, uç noktaların kümeye dahil olduğunu gösterir.
$B = [1, 5)$ kümesi, $1$ dahil olmak üzere, $1$ ile $5$ arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. Ancak $5$ bu kümeye dahil değildir. Yani, $x$ bir eleman ise, $1 \le x < 5$ koşulunu sağlar. Köşeli parantez $1$'in dahil olduğunu, normal parantez $5$'in dahil olmadığını gösterir.
İki kümenin birleşimi, bu kümelerden en az birine ait olan tüm elemanların oluşturduğu kümedir. Sayı aralıkları için birleşim, bu aralıkların sayı doğrusu üzerinde kapladığı toplam alanı ifade eder.
Bu aralıkları sayı doğrusunda hayal edelim veya çizersek, birleşimi bulmak daha kolay olur:
$A$ kümesi $-2$'den başlar (dahil) ve $3$'te biter (dahil).
$B$ kümesi $1$'den başlar (dahil) ve $5$'e kadar gider (ama $5$ dahil değil).
Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, en soldaki noktadan en sağdaki noktaya kadar olan tüm sayıları almalıyız.
Birleşimin başlangıç noktası, $A$ ve $B$ kümelerinin başlangıç noktalarından en küçük olanıdır.
$A$'nın başlangıç noktası: $-2$
$B$'nin başlangıç noktası: $1$
Bu iki sayıdan en küçüğü $-2$'dir. $-2$ sayısı $A$ kümesine dahil olduğu için, birleşim kümesine de dahil olacaktır. Bu yüzden başlangıç noktamız köşeli parantez ile $ [-2 $ şeklinde olacaktır.
Birleşimin bitiş noktası, $A$ ve $B$ kümelerinin bitiş noktalarından en büyük olanıdır.
$A$'nın bitiş noktası: $3$
$B$'nin bitiş noktası: $5$ (dahil değil)
Bu iki sayıdan en büyüğü $5$'tir. Ancak $5$ sayısı $B$ kümesine dahil değildir. $A$ kümesi $3$'te bittiği için $5$ sayısını dahil etme sorumluluğu $B$ kümesindedir, ama $B$ kümesi de $5$'i dahil etmez. Dolayısıyla, birleşim kümesi $5$'e kadar uzanır ancak $5$'i içermez. Bu yüzden bitiş noktamız normal parantez ile $ 5) $ şeklinde olacaktır.
Başlangıç noktamız $-2$ (dahil) ve bitiş noktamız $5$ (dahil değil) olduğuna göre, $A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi $ [-2, 5) $ aralığıdır.
Cevap A seçeneğidir.
