Sevgili öğrenciler,
Bir çokgenin köşegen sayısını bulmak için adım adım ilerleyelim:
- 1. Köşegenin Tanımı: Bir çokgende, komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Yani, bir köşegen bir kenar değildir.
- 2. Bir Köşeden Çizilebilecek Köşegen Sayısı: Bir çokgenin $n$ tane köşesi vardır. Herhangi bir köşeyi ele aldığımızda, bu köşeden kendisine veya komşusu olan iki köşeye köşegen çizilemez. Çünkü bu bağlantılar ya noktanın kendisi ya da çokgenin kenarlarıdır. Dolayısıyla, $n$ köşeden kendisi ve iki komşusu olmak üzere 3 köşeyi çıkarırsak, geriye $n-3$ tane köşe kalır. Bu $n-3$ köşeye köşegen çizilebilir. Yani, her bir köşeden $n-3$ tane köşegen çizilebilir.
- 3. Tüm Köşelerden Çizilebilecek Köşegenlerin İlk Sayımı: Çokgenin $n$ tane köşesi olduğuna ve her bir köşeden $n-3$ tane köşegen çizilebildiğine göre, ilk başta toplam köşegen sayısını $n \times (n-3)$ olarak düşünebiliriz.
- 4. Çift Sayımı Düzeltme: Yukarıdaki hesaplamada, her bir köşegeni iki kez saymış oluruz. Örneğin, A köşesinden B köşesine çizilen bir köşegen ile B köşesinden A köşesine çizilen bir köşegen aslında aynı köşegendir. Bu çift sayımı düzeltmek için, toplam sayıyı 2'ye bölmemiz gerekir.
- 5. Köşegen Sayısı Formülü: Bu durumda, bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülü şu şekilde bulunur: $\frac{n(n-3)}{2}$.
- 6. Örneklerle Doğrulama - Üçgen ($n=3$): Bir üçgenin köşegeni yoktur. Formülümüzü uygulayalım: $\frac{3(3-3)}{2} = \frac{3 \times 0}{2} = 0$. Sonuç doğru.
- 7. Örneklerle Doğrulama - Kare ($n=4$): Bir karenin 2 köşegeni vardır. Formülümüzü uygulayalım: $\frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \times 1}{2} = 2$. Sonuç doğru.
- 8. Örneklerle Doğrulama - Beşgen ($n=5$): Bir beşgenin 5 köşegeni vardır. Formülümüzü uygulayalım: $\frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$. Sonuç doğru.
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru formülün $\frac{n(n-3)}{2}$ olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
