Öz alt küme sayısı formülü (2ⁿ - 1) Test 2

Bir kümenin öz alt küme sayısı 63 olduğuna göre, bu kümenin eleman sayısı kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Küme kavramları ve formülleri kullanarak sonuca ulaşacağız.

• Adım 1: Öz Alt Küme Nedir?

  Öncelikle "öz alt küme" kavramını hatırlayalım. Bir kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerine öz alt küme denir. Yani, bir kümenin alt kümeleri arasında, kümenin kendisi hariç tutulduğunda geriye kalanlar öz alt kümeleridir.

• Adım 2: Alt Küme Sayısı Formülü

  Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur. Bu formül, her bir elemanın bir alt kümede olup olmaması için 2 seçeneği (var veya yok) olmasından gelir.

• Adım 3: Öz Alt Küme Sayısı Formülü

  Yukarıdaki tanımları birleştirirsek, bir kümenin öz alt küme sayısı, toplam alt küme sayısından 1 çıkarılarak bulunur. Çünkü kümenin kendisi, alt kümelerden biridir ama öz alt küme değildir. Bu durumda, öz alt küme sayısı formülü şu şekildedir: $2^n - 1$.

• Adım 4: Sorudaki Bilgiyi Kullanma

  Soruda bize öz alt küme sayısının 63 olduğu verilmiş. Bu bilgiyi, az önce öğrendiğimiz formülde yerine yazalım:

  $2^n - 1 = 63$

• Adım 5: Denklemi Çözme

  Şimdi bu denklemi çözerek $n$ değerini, yani kümenin eleman sayısını bulalım:

  • Öncelikle, denklemin sol tarafındaki $-1$'i sağ tarafa $+1$ olarak geçirelim:

    $2^n = 63 + 1$

    $2^n = 64$

  • Şimdi düşünelim, 2'nin kaçıncı kuvveti 64 eder? Bunu bulmak için 2'nin kuvvetlerini sırayla yazalım:
    • $2^1 = 2$
    • $2^2 = 4$
    • $2^3 = 8$
    • $2^4 = 16$
    • $2^5 = 32$
    • $2^6 = 64$

    Gördüğümüz gibi, $2^6 = 64$ olduğundan, $n = 6$ olur.

• Adım 6: Sonuç

  Bu durumda, kümenin eleman sayısı 6'dır.

Cevap B seçeneğidir.