Öz alt küme sayısı formülü (2ⁿ - 1) Test 2

Öz alt küme sayısı 511 olan bir kümenin eleman sayısı ile alt küme sayısının toplamı kaçtır?

A) 520
B) 528
C) 536
D) 544

Sevgili öğrenciler, bu tür küme problemlerini çözerken, temel formülleri doğru hatırlamak ve adım adım ilerlemek çok önemlidir. Haydi soruyu birlikte inceleyelim ve çözümünü bulalım.

• Adım 1: Kümenin Eleman Sayısını ($n$) Bulma

  Bir kümenin eleman sayısı $n$ olduğunda, bu kümenin öz alt küme sayısı $2^n - 1$ formülü ile bulunur. Soruda bize öz alt küme sayısının $511$ olduğu verilmiş.

  Bu bilgiyi kullanarak bir denklem kuralım:

  $2^n - 1 = 511$

  Şimdi bu denklemi $n$ için çözelim. Öncelikle $-1$'i eşitliğin diğer tarafına atalım:

  $2^n = 511 + 1$

  $2^n = 512$

  Şimdi $512$ sayısının $2$'nin kaçıncı kuvveti olduğunu bulmalıyız. $2$'nin kuvvetlerini hatırlayalım: $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$, $2^6 = 64$, $2^7 = 128$, $2^8 = 256$, $2^9 = 512$.

  Gördüğümüz gibi, $2^9 = 512$'dir. Bu durumda kümenin eleman sayısı $n = 9$'dur.

• Adım 2: Kümenin Alt Küme Sayısını Bulma

  Bir kümenin eleman sayısı $n$ olduğunda, bu kümenin alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur.

  Biz Adım 1'de kümenin eleman sayısını $n=9$ olarak bulmuştuk. Şimdi bu değeri formülde yerine koyalım:

  Alt küme sayısı $= 2^9$

  Daha önce de hesapladığımız gibi, $2^9 = 512$'dir.

  Yani, kümenin alt küme sayısı $512$'dir.

• Adım 3: Eleman Sayısı ile Alt Küme Sayısının Toplamını Bulma

  Soru bizden kümenin eleman sayısı ile alt küme sayısının toplamını istemektedir.

  • Eleman sayısı ($n$) $= 9$
  • Alt küme sayısı ($2^n$) $= 512$

  Bu iki değeri toplayalım:

  Toplam $= 9 + 512 = 521$

Yapılan hesaplamalara göre, kümenin eleman sayısı ile alt küme sayısının toplamı $521$'dir.

Cevap C seçeneğidir.