Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için kümelerdeki alt küme ve öz alt küme kavramlarını hatırlayalım.
- Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur.
- Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin öz alt küme sayısı $2^n - 1$ formülü ile bulunur. Öz alt küme, kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümeleridir.
- Dolayısıyla, bir kümenin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısı arasındaki fark her zaman $1$dir. Yani, $2^n - (2^n - 1) = 1$.
Şimdi sorumuza dönelim:
- Soru diyor ki: "Bir A kümesinin öz alt küme sayısı, alt küme sayısından 15 eksiktir."
- Matematiksel olarak ifade edersek: (Öz Alt Küme Sayısı) = (Alt Küme Sayısı) - 15.
- Formülleri yerine koyarsak: $(2^n - 1) = 2^n - 15$.
- Bu denklemi çözmeye çalıştığımızda: $2^n - 1 = 2^n - 15 \implies -1 = -15$ gibi çelişkili bir ifade elde ederiz. Bu durum, sorunun ifade ediliş biçiminde bir anlam kayması olduğunu gösterir.
- Bu tür sorularda genellikle, bahsedilen 'eksiklik' veya 'fazlalık' değeri, doğrudan o kümenin alt küme veya öz alt küme sayısını ifade etmek için kullanılır. Verilen seçeneklere ve matematiksel tutarlılığa ulaşmak için, sorunun aslında "Bir A kümesinin öz alt küme sayısı 15'tir." demek istediğini varsaymalıyız.
Bu varsayımla çözüme devam edelim:
- Adım 1: A kümesinin eleman sayısını belirleyelim.
- A kümesinin eleman sayısı $n$ olsun.
- Adım 2: Öz alt küme sayısının formülünü yazalım.
- A kümesinin öz alt küme sayısı $2^n - 1$ formülü ile bulunur.
- Adım 3: Verilen bilgiyi denkleme dönüştürelim.
- Sorunun amacına uygun olarak, öz alt küme sayısının 15 olduğunu kabul ediyoruz.
- Yani, $2^n - 1 = 15$.
- Adım 4: Denklemi çözerek $n$ değerini bulalım.
- $2^n - 1 = 15$
- Her iki tarafa 1 ekleyelim: $2^n = 15 + 1$
- $2^n = 16$
- 16 sayısını 2'nin kuvveti olarak yazalım: $16 = 2^4$.
- Yani, $2^n = 2^4$.
- Bu durumda, $n = 4$ olur.
- Adım 5: Sonucu kontrol edelim.
- Eğer A kümesinin eleman sayısı 4 ise ($n=4$):
- Alt küme sayısı: $2^4 = 16$.
- Öz alt küme sayısı: $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.
- Bu durumda, öz alt küme sayısı (15), alt küme sayısından (16) 1 eksiktir. Sorunun orijinal ifadesindeki "15 eksiktir" kısmının, öz alt küme sayısının doğrudan 15 olduğunu belirtmek için kullanıldığı anlaşılmaktadır.
Buna göre A kümesinin eleman sayısı 4'tür.
Cevap B seçeneğidir.
