6. Sınıf İki Doğal Sayının Ortak Bölenleri ve Ortak Katları Nasıl Bulunur? Test 2

İki zil sırasıyla 15 ve 25 dakika arayla çalmaktadır. Bu iki zil ilk kez birlikte çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar birlikte çalarlar?

A) 30
B) 50
C) 75
D) 150

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, iki farklı zaman aralığında çalan zillerin ne zaman tekrar birlikte çalacağını bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, ortak bir noktada buluşma zamanını bulmakla ilgilidir ve matematikte "En Küçük Ortak Kat" (EKOK) kavramını kullanarak çözülür.

• Problemi Anlayalım:

  Birinci zil her 15 dakikada bir çalıyor. Yani 15, 30, 45, 60, 75, ... dakikalarda çalacak.

  İkinci zil her 25 dakikada bir çalıyor. Yani 25, 50, 75, 100, ... dakikalarda çalacak.

  Bizden istenen, bu iki zilin ilk kez birlikte çaldıktan sonra en az kaç dakika sonra tekrar birlikte çalacağıdır. Bu da aslında 15 ve 25 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmak demektir.

• EKOK (En Küçük Ortak Kat) Nedir?

  İki veya daha fazla sayının ortak katları içinde en küçük olanına bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir. Bu problemde, zillerin çalma zamanları 15'in ve 25'in katları olacağı için, ikisinin de aynı anda çalacağı ilk zaman, bu sayıların EKOK'u olacaktır.

• EKOK'u Bulma Yöntemi (Asal Çarpanlara Ayırma):

  Sayıları asal çarpanlarına ayırarak EKOK'u bulmak en pratik yöntemdir.

  • 15 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $15 = 3 \times 5$
  • 25 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $25 = 5 \times 5 = 5^2$

  EKOK'u bulmak için, her iki sayıda bulunan tüm asal çarpanları (ortak olanlar dahil) en büyük üsleriyle alır ve çarparız.

  • Burada bulunan asal çarpanlar 3 ve 5'tir.
  • 3'ün en büyük üssü $3^1$'dir.
  • 5'in en büyük üssü $5^2$'dir.

  Şimdi bu çarpanları çarpalım: $EKOK(15, 25) = 3^1 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75$

• Sonuç:

  Buna göre, iki zil ilk kez birlikte çaldıktan en az 75 dakika sonra tekrar birlikte çalarlar.

Cevap C seçeneğidir.