\( 2^{24}, 4^{11}, 8^7 \) sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 2^{24} < 4^{11} < 8^7 \)
B) \( 4^{11} < 8^7 < 2^{24} \)
C) \( 8^7 < 4^{11} < 2^{24} \)
D) \( 4^{11} < 2^{24} < 8^7 \)
Bu tür üslü sayıları karşılaştırırken, genellikle sayıların tabanlarını veya üslerini eşitlemeye çalışırız. Bu soruda, tabanları eşitlemek daha kolay olacaktır, çünkü $4$ ve $8$ sayıları $2$'nin kuvvetleridir.
- Adım 1: Tüm sayıları aynı tabana dönüştürelim.
- Birinci sayımız $2^{24}$ zaten $2$ tabanındadır. Bu sayının üssü $24$'tür.
- İkinci sayımız $4^{11}$'i $2$ tabanına dönüştürelim. $4$ sayısı $2^2$ olduğu için, $4^{11} = (2^2)^{11}$ şeklinde yazabiliriz. Üslü sayılarda $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ kuralını kullanarak, $4^{11} = 2^{2 \cdot 11} = 2^{22}$ elde ederiz. Bu sayının üssü $22$'dir.
- Üçüncü sayımız $8^7$'yi $2$ tabanına dönüştürelim. $8$ sayısı $2^3$ olduğu için, $8^7 = (2^3)^7$ şeklinde yazabiliriz. Yine aynı kuralı kullanarak, $8^7 = 2^{3 \cdot 7} = 2^{21}$ elde ederiz. Bu sayının üssü $21$'dir.
- Adım 2: Sayıları karşılaştıralım.
- Şimdi elimizde $2^{24}$, $2^{22}$ ve $2^{21}$ sayıları var. Tüm sayıların tabanı $2$ ve bu taban $1$'den büyüktür. Taban $1$'den büyük olduğunda, üssü büyük olan sayı daha büyüktür.
- Sayılarımızın üsleri sırasıyla $24$, $22$ ve $21$'dir. Bu üsleri küçükten büyüğe doğru sıralarsak: $21 < 22 < 24$.
- Bu durumda, $2$ tabanındaki sayılarımızın sıralaması şu şekilde olur: $2^{21} < 2^{22} < 2^{24}$.
- Adım 3: Orijinal hallerine geri dönelim ve doğru sıralamayı belirleyelim.
- $2^{21}$ yerine orijinal hali olan $8^7$'yi, $2^{22}$ yerine orijinal hali olan $4^{11}$'i ve $2^{24}$ yerine orijinal hali olan $2^{24}$'ü yazarsak, doğru sıralama şu şekilde olur: $8^7 < 4^{11} < 2^{24}$.
Bu sıralama seçenekler arasında C) $8^7 < 4^{11} < 2^{24}$ seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
