ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |BC| = 15 cm ve |AC| = 17 cm'dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin merkezi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Üçgenin iç bölgesindedir
B) Üçgenin dış bölgesindedir
C) Hipotenüsün orta noktasıdır
D) Dar açılı üçgen olduğu için kenarortayların kesim noktasıdır
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve çevrel çemberinin merkezinin nerede olduğu soruluyor. Çevrel çemberin merkezi, üçgenin köşelerinden geçen çemberin merkezidir. Bu merkezin konumu, üçgenin türüne göre değişir. Haydi adım adım inceleyelim:
- Öncelikle verilen kenar uzunluklarına bakalım: $|AB| = 8$ cm, $|BC| = 15$ cm ve $|AC| = 17$ cm. Bir üçgenin türünü belirlemek için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler: $a^2 + b^2 = c^2$.
- Verilen kenar uzunluklarını bu teoremle kontrol edelim. En uzun kenar $17$ cm olduğu için, eğer üçgen dik açılı ise bu kenar hipotenüs olacaktır. Diğer iki kenarın karelerinin toplamını alalım: $8^2 + 15^2$.
- Hesaplamayı yapalım: $8^2 = 64$ ve $15^2 = 225$. Bu ikisinin toplamı $64 + 225 = 289$ eder.
- Şimdi en uzun kenarın karesini alalım: $17^2 = 289$.
- Gördüğümüz gibi, $8^2 + 15^2 = 17^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu durum, ABC üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösterir. Dik açı, en uzun kenarın (hipotenüsün) karşısındaki köşede, yani B köşesindedir.
- Bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi için çok önemli bir kural vardır: Bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi, her zaman hipotenüsün orta noktasıdır.
- Bizim üçgenimizde hipotenüs, en uzun kenar olan $|AC|$ kenarıdır. Dolayısıyla, çevrel çemberin merkezi $|AC|$ kenarının orta noktası olacaktır.
- Şimdi seçeneklere baktığımızda, C seçeneği "Hipotenüsün orta noktasıdır" ifadesiyle bulduğumuz sonuca uymaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
