Koordinat düzleminde A(-2,0), B(4,0) ve C(0,6) noktaları veriliyor. ABC üçgeninin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x-1)² + (y-2)² = 13
B) (x-1)² + (y-3)² = 10
C) (x-2)² + (y-3)² = 13
D) (x-2)² + (y-3)² = 10
ABC üçgeninin çevrel çemberinin denklemini bulmak için öncelikle çemberin merkezini $(h,k)$ ve yarıçapını $r$ bulmamız gerekir. Çevrel çember, üçgenin tüm köşelerinden geçer, bu nedenle çemberin merkezinin üçgenin her köşesine olan uzaklığı eşit ve yarıçapa eşittir.
- 1. Çevrel Çemberin Merkezinin x-koordinatını Bulma:
- A(-2,0) ve B(4,0) noktaları x-ekseni üzerindedir. Bu iki noktanın orta noktası, AB doğru parçasının dik orta noktasını verir. Çevrel çemberin merkezi, AB doğru parçasının dik orta doğrusu üzerinde olmalıdır.
- AB doğru parçasının orta noktası $M_{AB} = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, 0\right) = (1,0)$'dır.
- AB doğru parçası yatay olduğu için, dik orta doğrusu dikey bir doğru olacaktır. Bu doğru $x=1$ doğrusudur.
- Dolayısıyla, çevrel çemberin merkezinin x-koordinatı $h=1$'dir. Merkez $(1,k)$ şeklindedir.
- 2. Çevrel Çemberin Merkezinin y-koordinatını Bulma:
- Çemberin merkezi $(1,k)$ noktasıdır. Bu merkezin A(-2,0) ve C(0,6) noktalarına olan uzaklıkları eşit olmalıdır (her ikisi de yarıçap $r$'ye eşittir).
- Merkez $(1,k)$ ile A(-2,0) arasındaki uzaklığın karesi:
- $r^2 = (1 - (-2))^2 + (k - 0)^2 = (1+2)^2 + k^2 = 3^2 + k^2 = 9 + k^2$.
- Merkez $(1,k)$ ile C(0,6) arasındaki uzaklığın karesi:
- $r^2 = (1 - 0)^2 + (k - 6)^2 = 1^2 + (k^2 - 12k + 36) = k^2 - 12k + 37$.
- Bu iki uzaklığın karesini eşitleyelim:
- $9 + k^2 = k^2 - 12k + 37$
- $9 = -12k + 37$
- $12k = 37 - 9$
- $12k = 28$
- $k = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
- Böylece, çevrel çemberin merkezi $(1, \frac{7}{3})$ olarak bulunur.
- 3. Çevrel Çemberin Yarıçapının Karesini Bulma:
- Merkez $(1, \frac{7}{3})$ ve A(-2,0) noktasını kullanarak yarıçapın karesini hesaplayalım:
- $r^2 = (1 - (-2))^2 + (\frac{7}{3} - 0)^2 = 3^2 + (\frac{7}{3})^2 = 9 + \frac{49}{9} = \frac{81}{9} + \frac{49}{9} = \frac{130}{9}$.
- 4. Çevrel Çemberin Denklemini Yazma:
- Çemberin genel denklemi $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ olduğuna göre, bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
- $(x-1)^2 + (y-\frac{7}{3})^2 = \frac{130}{9}$.
Bu denklem, verilen A(-2,0), B(4,0) ve C(0,6) noktalarının çevrel çemberinin doğru denklemidir. Seçeneklerde bu denklem bulunmamaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
