Bir sınıfta 18 öğrenci vardır. Bu öğrencilerin 10'u futbol, 8'i basketbol oynamaktadır. Her iki sporu da yapan 4 öğrenci vardır. Rastgele seçilen bir öğrencinin futbol oynamadığı bilindiğine göre, bu öğrencinin basketbol oynama olasılığı kaçtır?
A) 1/2
B) 2/3
C) 3/4
D) 4/5
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, koşullu olasılık kavramını anlamamız için harika bir fırsat. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim ve her bir adımı dikkatlice anlayalım.
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Not Edelim
- Sınıftaki toplam öğrenci sayısı: $18$
- Futbol oynayan öğrenci sayısı: $10$
- Basketbol oynayan öğrenci sayısı: $8$
- Hem futbol hem de basketbol oynayan öğrenci sayısı: $4$
- 2. Adım: Öğrenci Gruplarını Belirleyelim
Öğrencileri farklı kategorilere ayırarak durumu daha net görebiliriz. Bunun için bir Venn şeması düşünebiliriz veya basit çıkarma işlemleri yapabiliriz:
- Sadece futbol oynayanlar: Futbol oynayanlardan hem futbol hem basketbol oynayanları çıkarırız.
- $10 \text{ (futbol)} - 4 \text{ (her ikisi)} = 6$ öğrenci sadece futbol oynar.
- Sadece basketbol oynayanlar: Basketbol oynayanlardan hem futbol hem basketbol oynayanları çıkarırız.
- $8 \text{ (basketbol)} - 4 \text{ (her ikisi)} = 4$ öğrenci sadece basketbol oynar.
- Hiçbir sporu yapmayanlar: Önce en az bir spor yapanları bulalım, sonra bunu toplam öğrenci sayısından çıkaralım.
- En az bir spor yapanlar = (Sadece futbol) + (Sadece basketbol) + (Her ikisi)
- $6 + 4 + 4 = 14$ öğrenci en az bir spor yapar.
- Hiçbir sporu yapmayanlar = Toplam öğrenci - En az bir spor yapanlar
- $18 - 14 = 4$ öğrenci hiçbir sporu yapmaz.
- 3. Adım: Koşulu Belirleyelim ve Yeni Örnek Uzayımızı Oluşturalım
Soru bize "Rastgele seçilen bir öğrencinin futbol oynamadığı bilindiğine göre" diyor. Bu, bizim yeni "evrenimiz" veya "örnek uzayımız" demektir. Yani, sadece futbol oynamayan öğrencilere odaklanacağız.
- Futbol oynamayan öğrenciler kimlerdir?
- Sadece basketbol oynayanlar ($4$ öğrenci)
- Hiçbir sporu yapmayanlar ($4$ öğrenci)
- Futbol oynamayan toplam öğrenci sayısı: $4 + 4 = 8$ öğrenci.
Bu $8$ öğrenci, bizim koşullu olasılık hesabımızdaki yeni toplam sayımızdır.
- 4. Adım: İstenen Durumu Belirleyelim
Soru bizden, futbol oynamadığı bilinen bu öğrencinin "basketbol oynama olasılığını" istiyor. Yani, futbol oynamayan $8$ öğrenci içinden kaç tanesi basketbol oynuyor?
- Futbol oynamayan ve aynı zamanda basketbol oynayan öğrenciler, "sadece basketbol oynayan" öğrencilerdir.
- Bu grupta $4$ öğrenci bulunmaktadır.
- 5. Adım: Olasılığı Hesaplayalım
Olasılık, istenen durum sayısının, tüm olası durumların sayısına oranıdır.
- İstenen durum (basketbol oynayan futbol oynamayanlar): $4$
- Tüm olası durumlar (futbol oynamayanlar): $8$
- Olasılık = $\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} = \frac{4}{8}$
- $\frac{4}{8}$ kesrini sadeleştirdiğimizde $\frac{1}{2}$ elde ederiz.
Bu nedenle, rastgele seçilen bir öğrencinin futbol oynamadığı bilindiğine göre, bu öğrencinin basketbol oynama olasılığı $\frac{1}{2}$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
