İki terimin toplamının küpü (a+b)³ Test 2

(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b) özdeşliğini kullanarak (x+5)³ ifadesini x³ + 125 + 15x(x+5) şeklinde yazan bir öğrenci, bu ifadeyi sadeleştirdiğinde aşağıdakilerden hangisini bulur?

A) x³ + 15x² + 75x + 125
B) x³ + 15x² + 90x + 125
C) x³ + 25x² + 75x + 125
D) x³ + 30x² + 75x + 125

Sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen bir özdeşliği kullanarak bir ifadeyi sadeleştirmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.

• 1. İfadeyi Tanıyalım:

  Öğrencinin $(x+5)^3$ ifadesini özdeşliği kullanarak yazdığı şekil şudur: $x^3 + 125 + 15x(x+5)$.

  Bizden istenen, bu ifadeyi sadeleştirmektir. Yani parantezleri açıp benzer terimleri birleştireceğiz.

• 2. Parantez İçindeki Çarpma İşlemini Yapalım (Dağılma Özelliği):

  İfadenin $15x(x+5)$ kısmına odaklanalım. Burada $15x$ terimini parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarpmamız gerekiyor. Bu işleme "dağılma özelliği" denir.

  • $15x \times x = 15x^2$
  • $15x \times 5 = 75x$

  Böylece $15x(x+5)$ ifadesi $15x^2 + 75x$ haline gelir.

• 3. Sadeleşmiş İfadeyi Yeniden Yazalım:

  Şimdi bulduğumuz $15x^2 + 75x$ ifadesini başlangıçtaki ifadenin yerine koyalım:

  $x^3 + 125 + (15x^2 + 75x)$

  Parantezi açtığımızda ifade şu şekli alır:

  $x^3 + 125 + 15x^2 + 75x$

• 4. Terimleri Düzenleyelim:

  Matematikte genellikle çok terimli ifadeleri (polinomları) en yüksek dereceli terimden en düşük dereceli terime doğru sıralarız. Bu, ifadenin daha düzenli ve anlaşılır olmasını sağlar.

  İfademizdeki terimlerin dereceleri şunlardır:

  • $x^3$ (3. derece)
  • $15x^2$ (2. derece)
  • $75x$ (1. derece)
  • $125$ (sabit terim, 0. derece)

  Bu terimleri derecelerine göre sıraladığımızda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

  $x^3 + 15x^2 + 75x + 125$

• 5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz sadeleşmiş ifadeyi seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $x^3 + 15x^2 + 75x + 125$
  • B) $x^3 + 15x^2 + 90x + 125$
  • C) $x^3 + 25x^2 + 75x + 125$
  • D) $x^3 + 30x^2 + 75x + 125$

  Gördüğümüz gibi, bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.