10. Sınıf Üçgende Alan Test 1

Aşağıdaki şekilde ABC üçgeni verilmiştir. D noktası BC kenarı üzerindedir. $|BD| = 2|DC|$ ve Alan(ADC) = 15 cm$^2$ olduğuna göre, Alan(ABC) kaç cm$^2$'dir?

A) 30
B) 45
C) 60
D) 75

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda üçgenlerin alanları arasındaki ilişkiyi ve taban-yükseklik bağlantısını kullanarak sonuca ulaşacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Bize bir $ABC$ üçgeni verilmiş. $D$ noktası $BC$ kenarı üzerinde yer alıyor. Bu, $AD$ doğru parçasının $ABC$ üçgenini iki küçük üçgene, yani $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerine ayırdığı anlamına gelir.

  Ayrıca, $D$ noktasının $BC$ kenarını nasıl böldüğü hakkında bir oran verilmiş: $|BD| = 2|DC|$. Bu ifade, $BD$ uzunluğunun $DC$ uzunluğunun iki katı olduğunu söyler.

  Son olarak, $ADC$ üçgeninin alanı verilmiş: Alan($ADC$) = $15 \text{ cm}^2$.

• Ne Bulmamız Gerekiyor?

  Bizden $ABC$ üçgeninin toplam alanı isteniyor: Alan($ABC$).

• Üçgenlerin Alanları Arasındaki İlişkiyi Kuralım:

  Şekle dikkatlice baktığımızda, $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin ortak bir yüksekliğe sahip olduğunu görürüz. Bu yükseklik, $A$ köşesinden $BC$ kenarına (veya uzantısına) indirilen dikmedir. Bu yüksekliğe $h$ diyelim.

  Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Yani, Alan = $rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$.

  • Alan($ADC$) = $rac{1}{2} \times |DC| \times h$
  • Alan($ABD$) = $rac{1}{2} \times |BD| \times h$

  Bu iki formülü karşılaştırdığımızda, $rac{1}{2}$ ve $h$ değerlerinin her iki üçgen için de aynı olduğunu fark ederiz. Bu durumda, üçgenlerin alanları, taban uzunluklarıyla doğru orantılıdır.

• Verilen Oranı Kullanarak Alanları İlişkilendirelim:

  Bize verilen $|BD| = 2|DC|$ oranını kullanalım. Alan($ABD$) formülünde $|BD|$ yerine $2|DC|$ yazabiliriz:

  Alan($ABD$) = $rac{1}{2} \times (2|DC|) \times h$

  Bu ifadeyi yeniden düzenlersek:

  Alan($ABD$) = $2 \times (rac{1}{2} \times |DC| \times h)$

  Gördüğümüz gibi, parantez içindeki ifade tam olarak Alan($ADC$)'nin formülüdür. Öyleyse:

  Alan($ABD$) = $2 \times$ Alan($ADC$)

• Alan($ABD$)'yi Hesaplayalım:

  Alan($ADC$) = $15 \text{ cm}^2$ olarak verildiğine göre, Alan($ABD$)'yi kolayca bulabiliriz:

  Alan($ABD$) = $2 \times 15 \text{ cm}^2 = 30 \text{ cm}^2$

• Alan($ABC$)'yi Bulalım:

  $ABC$ üçgeninin alanı, $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin alanlarının toplamına eşittir:

  Alan($ABC$) = Alan($ABD$) + Alan($ADC$)

  Alan($ABC$) = $30 \text{ cm}^2 + 15 \text{ cm}^2 = 45 \text{ cm}^2$

Böylece, $ABC$ üçgeninin toplam alanını $45 \text{ cm}^2$ olarak bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.