Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir kare kartonun içinden belirli bir kurala göre oluşturulan bir üçgenin alanını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu sorunu kolayca çözeceğiz.
- Adım 1: Problemi Anlama ve Görselleştirme
- Öncelikle, bir kenar uzunluğu $12$ cm olan kare şeklindeki kartonumuzu hayal edelim veya çizebiliriz. Bu karenin köşelerini saat yönünde A, B, C, D olarak adlandıralım.
- Soruda "bir köşesinden" denildiği için, bu köşeyi A olarak seçelim.
- "Karşı kenarların orta noktalarına" ifadesi önemlidir. A köşesine komşu olan kenarlar AB ve AD'dir. Dolayısıyla, A köşesine karşı olan kenarlar BC ve CD kenarlarıdır.
- BC kenarının orta noktasına M diyelim.
- CD kenarının orta noktasına N diyelim.
- Şimdi, A köşesinden M noktasına ve N noktasına birer doğru parçası çizdiğimizde, AMN üçgeni oluşur. Bizden bu üçgenin alanını bulmamız isteniyor.
- Adım 2: Gerekli Uzunlukları Belirleme
- Karenin bir kenar uzunluğu $12$ cm'dir.
- M noktası BC kenarının orta noktası olduğu için, $BM = MC = rac{12}{2} = 6$ cm olur.
- N noktası CD kenarının orta noktası olduğu için, $CN = ND = rac{12}{2} = 6$ cm olur.
- Adım 3: Alan Hesaplama Stratejisi
- AMN üçgeninin alanını doğrudan hesaplamak biraz karmaşık olabilir. Bunun yerine, karenin toplam alanından, AMN üçgeni dışında kalan ve kolayca alanını hesaplayabileceğimiz dik üçgenlerin alanlarını çıkararak AMN üçgeninin alanını bulabiliriz.
- Karenin toplam alanı: Kenar $\times$ Kenar $= 12 \times 12 = 144$ cm$^2$.
- AMN üçgeni dışında kalan üçgenler şunlardır:
- ABM üçgeni
- ADN üçgeni
- MCN üçgeni
- Adım 4: Kalan Üçgenlerin Alanlarını Hesaplama
- ABM Üçgeni: Bu üçgen, B köşesinde dik açısı olan bir dik üçgendir.
- Dik kenarları AB ve BM'dir.
- $AB = 12$ cm (karenin kenarı).
- $BM = 6$ cm (BC'nin yarısı).
- Alan($ABM$) = $ rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = rac{1}{2} \times AB \times BM = rac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36$ cm$^2$.
- ADN Üçgeni: Bu üçgen, D köşesinde dik açısı olan bir dik üçgendir.
- Dik kenarları AD ve DN'dir.
- $AD = 12$ cm (karenin kenarı).
- $DN = 6$ cm (CD'nin yarısı).
- Alan($ADN$) = $ rac{1}{2} \times AD \times DN = rac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36$ cm$^2$.
- MCN Üçgeni: Bu üçgen, C köşesinde dik açısı olan bir dik üçgendir.
- Dik kenarları MC ve CN'dir.
- $MC = 6$ cm (BC'nin yarısı).
- $CN = 6$ cm (CD'nin yarısı).
- Alan($MCN$) = $ rac{1}{2} \times MC \times CN = rac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$ cm$^2$.
- Adım 5: AMN Üçgeninin Alanını Hesaplama
- Şimdi, karenin toplam alanından, bulduğumuz bu üçgenlerin alanlarını çıkaralım:
- Alan($AMN$) = Alan(Kare ABCD) - (Alan($ABM$) + Alan($ADN$) + Alan($MCN$))
- Alan($AMN$) = $144 - (36 + 36 + 18)$
- Alan($AMN$) = $144 - 90$
- Alan($AMN$) = $54$ cm$^2$.
Böylece, oluşturulan üçgenin alanını $54$ cm$^2$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
