9. Sınıf sayı kümelerinin kesişimi nedir? Test 2

Reel sayılarda A = {x | |x - 2| < 3} ve B = {x | |x + 1| ≤ 2} kümeleri tanımlanıyor. A ∩ B kesişim kümesinin uzunluğu kaç birimdir?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Sevgili öğrenciler, bu soruda iki farklı küme tanımlanmış ve bizden bu kümelerin kesişiminin uzunluğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim.

• Adım 1: A kümesini aralık olarak ifade edelim.

  A kümesi, $A = \{x | |x - 2| < 3\}$ şeklinde tanımlanmıştır. Mutlak değer eşitsizliklerinin özelliğine göre, $|x - a| < b$ ifadesi $-b < x - a < b$ şeklinde yazılabilir. Bu durumda:

  $-3 < x - 2 < 3$

  Eşitsizliğin her tarafına $2$ ekleyelim:

  $-3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2$

  $-1 < x < 5$

  Yani, A kümesi açık aralık olarak $A = (-1, 5)$ şeklinde ifade edilir.

• Adım 2: B kümesini aralık olarak ifade edelim.

  B kümesi, $B = \{x | |x + 1| \le 2\}$ şeklinde tanımlanmıştır. Mutlak değer eşitsizliklerinin özelliğine göre, $|x - a| \le b$ ifadesi $-b \le x - a \le b$ şeklinde yazılabilir. Burada $x + 1$ ifadesini $x - (-1)$ olarak düşünebiliriz. Bu durumda:

  $-2 \le x + 1 \le 2$

  Eşitsizliğin her tarafından $1$ çıkaralım:

  $-2 - 1 \le x + 1 - 1 \le 2 - 1$

  $-3 \le x \le 1$

  Yani, B kümesi kapalı aralık olarak $B = [-3, 1]$ şeklinde ifade edilir.

• Adım 3: A ve B kümelerinin kesişimini ($A \cap B$) bulalım.

  A kümesi $(-1, 5)$ ve B kümesi $[-3, 1]$ olarak bulundu. Kesişim kümesini bulmak için her iki aralıkta da bulunan sayıları belirlemeliyiz. Sayı doğrusu üzerinde düşünürsek:

  • A kümesi $-1$'den büyük ve $5$'ten küçük tüm sayıları içerir.
  • B kümesi $-3$'e eşit veya büyük ve $1$'e eşit veya küçük tüm sayıları içerir.

  Kesişim kümesinin başlangıç noktası, aralıkların başlangıç noktalarının en büyüğü olacaktır: $\max(-1, -3) = -1$.

  Kesişim kümesinin bitiş noktası, aralıkların bitiş noktalarının en küçüğü olacaktır: $\min(5, 1) = 1$.

  Bu durumda, kesişim kümesi $A \cap B = (-1, 1]$ olur. Dikkat edin, $-1$ dahil değilken, $1$ dahildir.

• Adım 4: Kesişim kümesinin uzunluğunu hesaplayalım.

  Kesişim kümesi $(-1, 1]$ aralığıdır. Bir aralığın uzunluğu, bitiş noktasından başlangıç noktasının çıkarılmasıyla bulunur. Yani, $(b - a)$ formülüyle hesaplanır.

  Uzunluk $= 1 - (-1)$

  Uzunluk $= 1 + 1$

  Uzunluk $= 2$ birimdir.

Cevap B seçeneğidir.