Ağırlık merkezi nedir Test 2

İnce türdeş bir çubuk, uzunluğunun 1/4'ü kadar yerinden kesilip, kalan parçanın ucuna dik olarak ekleniyor. Oluşan yeni şeklin ağırlık merkezi, orijinal çubuğun ağırlık merkezine göre nerede olur?

A) Aynı noktada kalır
B) Kesilen parçanın eklendiği yönde kayar
C) Kesilen parçanın eklendiği yönün tersinde kayar
D) Çubuğun ucuna doğru kayar

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir çubuğun bir kısmının kesilip farklı bir şekilde eklenmesiyle ağırlık merkezinin nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Ağırlık merkezi, bir cismin tüm kütlesinin toplandığı varsayılan noktadır ve kütle dağılımına göre yeri değişir. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Orijinal Çubuğun Ağırlık Merkezi:

  Uzunluğu $L$ olan ince, türdeş bir çubuğumuz var. Türdeş olduğu için kütlesi uzunluğuna orantılıdır ve ağırlık merkezi tam ortasındadır. Koordinat sistemimizi çubuğun sol ucunu $x=0$ ve sağ ucunu $x=L$ olarak alırsak, orijinal çubuğun ağırlık merkezi $(X_{CM\_orijinal}, Y_{CM\_orijinal}) = (L/2, 0)$ noktasındadır. Çubuğun toplam kütlesine $M$ diyelim.

• 2. Yeni Şeklin Bileşenleri ve Ağırlık Merkezleri:

  Çubuğun uzunluğunun $1/4$'ü kadar bir parça kesiliyor. Yani $L/4$ uzunluğunda bir parça kesildi. Geriye kalan parçanın uzunluğu $L - L/4 = 3L/4$ olur. Kesilen parça, kalan parçanın ucuna dik olarak ekleniyor.

  Bu işlemi somutlaştırmak için, çubuğun sağ ucundan $L/4$ uzunluğunda bir parça kesildiğini ve kalan $3L/4$ uzunluğundaki parçanın $x=0$ ile $x=3L/4$ arasında yer aldığını varsayalım. Kesilen $L/4$ uzunluğundaki parça ise $x=3L/4$ noktasından yukarıya doğru (y ekseni boyunca) dik olarak eklendiğini düşünelim.

  • Kalan Parça (Ana Çubuk):

    Uzunluğu $3L/4$, kütlesi $m_1 = (3/4)M$. Bu parçanın ağırlık merkezi, kendi uzunluğunun ortasında, yani $x_1 = (3L/4)/2 = 3L/8$ noktasındadır. $y_1 = 0$. Yani $(3L/8, 0)$.

  • Eklenen Parça:

    Uzunluğu $L/4$, kütlesi $m_2 = (1/4)M$. Bu parça, ana çubuğun $x=3L/4$ ucuna dik olarak eklendiği için, kendi ağırlık merkezi $x_2 = 3L/4$ ve $y_2 = (L/4)/2 = L/8$ noktasındadır. Yani $(3L/4, L/8)$.

• 3. Yeni Şeklin Toplam Ağırlık Merkezinin Hesaplanması:

  Yeni şeklin toplam kütlesi $m_1 + m_2 = (3/4)M + (1/4)M = M$ olur (kütle değişmez). Ağırlık merkezi formülünü kullanarak yeni ağırlık merkezini bulalım:

  $X_{CM\_yeni} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{(3M/4)(3L/8) + (M/4)(3L/4)}{M}$

  $X_{CM\_yeni} = \frac{9ML/32 + 3ML/16}{M} = \frac{9L/32 + 6L/32}{1} = \frac{15L}{32}$

  $Y_{CM\_yeni} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{(3M/4)(0) + (M/4)(L/8)}{M}$

  $Y_{CM\_yeni} = \frac{ML/32}{M} = \frac{L}{32}$

  Buna göre, yeni şeklin ağırlık merkezi $(X_{CM\_yeni}, Y_{CM\_yeni}) = (15L/32, L/32)$ noktasındadır.

• 4. Ağırlık Merkezinin Kayma Yönünün Belirlenmesi:

  Orijinal ağırlık merkezi $(L/2, 0) = (16L/32, 0)$ idi.

  Yeni ağırlık merkezi $(15L/32, L/32)$ oldu.

  • X eksenindeki değişim: $15L/32 - 16L/32 = -L/32$. Ağırlık merkezi x ekseninde sola doğru kaymıştır.
  • Y eksenindeki değişim: $L/32 - 0 = L/32$. Ağırlık merkezi y ekseninde yukarı doğru kaymıştır.

  Gördüğümüz gibi, orijinal çubuk yatay eksende iken, yeni ağırlık merkezi hem yatay hem de dikey yönde bir kayma göstermiştir. Özellikle, orijinalde y ekseninde 0 olan ağırlık merkezi, eklenen parçanın yönünde (yukarıya doğru) $L/32$ kadar kaymıştır. Bu, ağırlık merkezinin, eklenen parçanın oluşturduğu yeni boyuta doğru hareket ettiği anlamına gelir.

• 5. Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
  • A) Aynı noktada kalır: Yanlıştır, ağırlık merkezi kaymıştır.
  • B) Kesilen parçanın eklendiği yönde kayar: Eklenen parça ana çubuğa dik olarak eklendi ve ağırlık merkezi bu dik yönde (y ekseninde) kaydı. Bu ifade, ağırlık merkezinin eklenen parçanın oluşturduğu yeni boyuta doğru hareket ettiğini en iyi şekilde açıklar.
  • C) Kesilen parçanın eklendiği yönün tersinde kayar: Yanlıştır, y ekseninde eklenen parçanın yönünde kaymıştır.
  • D) Çubuğun ucuna doğru kayar: Bu ifade belirsizdir ve her iki senaryoda da (kesilen parçanın hangi uçtan kesilip eklendiğine bağlı olarak) ağırlık merkezinin x bileşeni farklı yönlerde kayabilir. Örneğin, bizim senaryomuzda $15L/32 < 3L/4$ olduğu için, kalan çubuğun ucundan (sağ ucundan) uzaklaşmıştır.

Bu durumda, ağırlık merkezinin en belirgin ve her durumda geçerli olan kayması, eklenen parçanın oluşturduğu yeni boyuta doğru olan kaymadır. Yani, orijinal çubuğun ekseninden çıkarak, eklenen parçanın yönünde hareket eder.

Cevap B seçeneğidir.