Harezmi'nin tam kareye tamamlama yöntemini kullanarak \( x^2 + 12x = 45 \) denklemini çözmek isteyen bir öğrenci, aşağıdaki işlem adımlarını uyguluyor:
I. Denklemin her iki tarafına 36 ekler
II. Denklemi \( (x+6)^2 = 81 \) şeklinde yazar
III. Her iki tarafın karekökünü alarak \( x+6 = 9 \) bulur
Bu öğrenci için hangi ifade doğrudur?
A) Sadece I. adımda hata yapmıştır
B) Sadece III. adımda hata yapmıştır
C) Tüm adımları doğru uygulamıştır
D) II. ve III. adımlarda hata yapmıştır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, Harezmi'nin tam kareye tamamlama yöntemini kullanarak bir denklemi çözen bir öğrencinin adımlarını inceleyeceğiz ve nerede hata yaptığını bulacağız. Bu yöntem, ikinci dereceden denklemleri çözmek için oldukça güçlü ve temel bir araçtır.
Denklemimiz $x^2 + 12x = 45$. Amacımız, denklemin sol tarafını bir tam kare ifadeye dönüştürmektir.
- Harezmi'nin Tam Kareye Tamamlama Yöntemi Hatırlatması:
Bir $x^2 + bx$ ifadesini tam kare yapmak için, $x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2$ şeklinde yazmalıyız. Bu ifade $(x + \frac{b}{2})^2$ olur. Bizim denklemimizde $b = 12$ olduğu için, eklememiz gereken sayı $(\frac{12}{2})^2 = 6^2 = 36$'dır.
Şimdi öğrencinin adımlarını tek tek inceleyelim:
- I. Adım: Denklemin her iki tarafına 36 ekler.
Öğrenci, $x^2 + 12x$ ifadesini tam kare yapmak için doğru bir şekilde 36 sayısını eklemiştir. Denklemin dengesini bozmamak için eşitliğin her iki tarafına da 36 eklenmelidir.
$x^2 + 12x + 36 = 45 + 36$
Bu adım doğrudur.
- II. Adım: Denklemi $(x+6)^2 = 81$ şeklinde yazar.
I. adımdan sonra denklemimiz $x^2 + 12x + 36 = 45 + 36$ şeklindeydi.
Sol taraf, $x^2 + 12x + 36$, gerçekten de $(x+6)^2$ ifadesinin açılımıdır.
Sağ taraf ise $45 + 36 = 81$ olur.
Dolayısıyla, denklem $(x+6)^2 = 81$ şeklinde yazılır.
Bu adım da doğrudur.
- III. Adım: Her iki tarafın karekökünü alarak $x+6 = 9$ bulur.
Denklemimiz $(x+6)^2 = 81$ idi. Her iki tarafın karekökünü aldığımızda, unutmamamız gereken çok önemli bir nokta vardır: Bir sayının karesi 81 ise, o sayı hem pozitif 9 hem de negatif 9 olabilir. Yani, $\sqrt{(x+6)^2} = \sqrt{81}$ ifadesi $|x+6| = 9$ anlamına gelir.
Bu durumda iki farklı çözüm yolu ortaya çıkar:
1. $x+6 = 9 \implies x = 9 - 6 \implies x = 3$
2. $x+6 = -9 \implies x = -9 - 6 \implies x = -15$
Öğrenci sadece $x+6 = 9$ durumunu ele almıştır ve diğer olası kök olan $x+6 = -9$ durumunu göz ardı etmiştir. Bu, denklemin tüm çözümlerini bulmak için eksik bir adımdır.
Bu adım hatalıdır.
Sonuç olarak, öğrenci sadece III. adımda hata yapmıştır çünkü karekök alırken hem pozitif hem de negatif kökü dikkate alması gerekiyordu.
Cevap B seçeneğidir.
