Harezmi'nin geometrik yaklaşımıyla tam kareye tamamlama yöntemini anlattığı bir derste, \( x^2 + 6x \) ifadesini geometrik olarak modellemek isteyen bir öğrenci, kenarı x birim olan bir kare ve kenarları x ve 3 birim olan iki dikdörtgen çiziyor. Bu öğrencinin tam kare oluşturabilmesi için eklemesi gereken parçanın alanı kaç birimkaredir?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
Harezmi'nin geometrik yaklaşımıyla tam kareye tamamlama yöntemi, cebirsel ifadeleri görsel olarak anlamamızı sağlar. Bu yöntemde, verilen terimler farklı şekillerin alanları olarak temsil edilir ve bu şekiller bir araya getirilerek bir kare oluşturulmaya çalışılır.
- Verilen İfadeyi Anlayalım: Öğrenci, $x^2 + 6x$ ifadesini geometrik olarak modellemek istiyor. Bu ifadeyi bir tam kareye tamamlamak, yani $(x+a)^2$ veya $(x-a)^2$ şeklinde bir ifadeye dönüştürmek demektir.
- Öğrencinin Çizdiği Parçalar ve Alanları:
Öğrenci, kenarı $x$ birim olan bir kare çiziyor. Bu karenin alanı $x \times x = x^2$ birimkaredir.
Ayrıca, kenarları $x$ ve $3$ birim olan iki dikdörtgen çiziyor. Her bir dikdörtgenin alanı $x \times 3 = 3x$ birimkaredir. İki dikdörtgenin toplam alanı $2 \times 3x = 6x$ birimkaredir.
Böylece, öğrencinin elindeki toplam alan $x^2 + 6x$ birimkaredir.
- Tam Kare Oluşturma Hedefi: Amacımız, bu $x^2$ ve $6x$ alanlarını temsil eden parçaları kullanarak bir büyük kare oluşturmaktır. Harezmi yönteminde, $x^2$ karesini merkeze alırız. $6x$ terimini ise iki eşit parçaya bölerek ($3x$ ve $3x$) bu $x^2$ karesinin iki bitişik kenarına ekleriz.
- Parçaları Geometrik Olarak Yerleştirme:
Önce $x$ kenarlı kareyi yerleştirelim.
Bu karenin bir kenarına (örneğin sağ tarafına) $x$ birim ve $3$ birim kenarlı bir dikdörtgeni ekleyelim. Bu durumda, oluşan şeklin bir kenarı $x+3$ birim olur.
Karenin diğer kenarına (örneğin alt tarafına) $x$ birim ve $3$ birim kenarlı diğer dikdörtgeni ekleyelim. Bu durumda, oluşan şeklin diğer kenarı da $x+3$ birim olur.
Bu düzenleme sonucunda, elimizde kenarları $x+3$ ve $x+3$ olan büyük bir kare oluşmaya başlar.
- Eksik Parçayı Belirleme:
Büyük karenin bir kenarı $x+3$ birim olduğuna göre, bu büyük karenin toplam alanı $(x+3)^2$ olmalıdır.
$(x+3)^2$ ifadesini cebirsel olarak açarsak: $(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
Öğrencinin elindeki parçaların toplam alanı $x^2 + 6x$ idi.
Tam kareyi oluşturmak için gereken toplam alan $x^2 + 6x + 9$ olduğuna göre, eksik olan parça $9$ birimkaredir.
Geometrik olarak düşündüğümüzde, $x$ kenarlı kareyi ve iki adet $x$ kenarlı, $3$ kenarlı dikdörtgeni yerleştirdiğimizde, köşede $3$ birim kenarlı bir kare boş kalır. Bu boş kalan karenin alanı $3 \times 3 = 9$ birimkaredir.
- Sonuç: Tam kareyi oluşturabilmek için eklenmesi gereken parçanın alanı $9$ birimkaredir.
Cevap C seçeneğidir.
