EKOK nedir (En Küçük Ortak Kat) Test 2

Bir atölyede üretilen A ve B tipi vidaların boyları sırasıyla 2,4 cm ve 3,6 cm'dir. Bu vidalardan eşit sayıda kullanılarak oluşturulacak bir düzeneğin toplam uzunluğu mümkün olan en kısa olduğunda, bu uzunluk kaç cm olur?

A) 7,2
B) 12,0
C) 14,4
D) 21,6

Bu problemde, farklı uzunluklardaki vidaları kullanarak eşit uzunlukta bir düzenek oluşturmak ve bu düzenek için mümkün olan en kısa toplam uzunluğu bulmak istiyoruz. Bu tür problemler, verilen sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK)'nı bulmayı gerektirir.

• Adım 1: Problemi Anlama ve EKOK İlişkisini Kurma

  A tipi vidaların boyu $2,4$ cm, B tipi vidaların boyu ise $3,6$ cm'dir. Düzeneğin toplam uzunluğu, hem A tipi vidaların toplam uzunluğuna hem de B tipi vidaların toplam uzunluğuna eşit olmalıdır. Ayrıca, bu uzunluk mümkün olan en kısa olmalıdır. Bu durum, $2,4$ ve $3,6$ sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmamız gerektiğini gösterir.

• Adım 2: Ondalıklı Sayıları Tam Sayıya Çevirme

  EKOK hesaplamasını kolaylaştırmak için ondalıklı sayıları tam sayılara çevirebiliriz. Her iki sayıyı da $10$ ile çarparak virgülden kurtuluruz:

  A tipi vida boyu için: $2,4 \times 10 = 24$

  B tipi vida boyu için: $3,6 \times 10 = 36$

  Şimdi $24$ ve $36$ sayılarının EKOK'unu bulacağız. Bulduğumuz sonucu daha sonra $10$'a bölerek gerçek cevaba ulaşacağız.

• Adım 3: $24$ ve $36$ Sayılarının EKOK'unu Bulma

  EKOK'u bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz:

  $24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3^1$

  $36 = 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$

  EKOK, tüm asal çarpanların en büyük üslerini alarak çarpılmasıyla bulunur:

  $EKOK(24, 36) = 2^{\text{max}(3,2)} \times 3^{\text{max}(1,2)}$

  $EKOK(24, 36) = 2^3 \times 3^2$

  $EKOK(24, 36) = 8 \times 9$

  $EKOK(24, 36) = 72$

  Alternatif olarak, sayıların katlarını yazarak da bulabiliriz:

  $24$'ün katları: $24, 48, 72, 96, \dots$

  $36$'nın katları: $36, 72, 108, \dots$

  Görüldüğü gibi, en küçük ortak kat $72$'dir.

• Adım 4: Gerçek Uzunluğu Bulma

  Başlangıçta sayıları $10$ ile çarptığımız için, bulduğumuz EKOK değerini $10$'a bölerek gerçek uzunluğu elde ederiz:

  Gerçek uzunluk $= \frac{72}{10} = 7,2$ cm

  Bu durumda, oluşturulacak düzeneğin toplam uzunluğu mümkün olan en kısa olduğunda $7,2$ cm olur.

Cevap A seçeneğidir.