f(x) = (x² + 3x - 2)/(x) ifadesi sadeleştirildiğinde f(x) = x + 3 - 2/x elde ediliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Sadeleştirmeden önce ve sonraki ifadelerin ikisi de polinomdur
B) Sadeleştirmeden önceki ifade polinom, sonraki değildir
C) Sadeleştirmeden önceki ifade polinom değil, sonraki polinomdur
D) Sadeleştirmeden önce ve sonraki ifadelerin ikisi de polinom değildir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamamız gerekiyor. Polinom kavramını hatırlayarak adım adım ilerleyelim.
- Polinom Nedir?
- Bir ifadeye polinom diyebilmemiz için, değişkenlerin (burada $x$) üslerinin doğal sayı (yani $0, 1, 2, 3, \dots$) olması gerekir.
- Ayrıca, değişkenler paydada bulunmamalı veya kök içinde olmamalıdır. Yani, $x^{-1}$ (yani $1/x$) veya $\sqrt{x}$ gibi terimler içeren ifadeler polinom değildir.
- Sadeleştirmeden Önceki İfadeyi İnceleyelim:
- Verilen ilk ifade $f(x) = \frac{x^2 + 3x - 2}{x}$ şeklindedir.
- Bu ifadeyi daha net görmek için her terimi paydadaki $x$'e bölebiliriz:
$f(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{3x}{x} - \frac{2}{x}$
$f(x) = x + 3 - \frac{2}{x}$
- Burada $\frac{2}{x}$ terimi bulunmaktadır. Bu terimi $2x^{-1}$ olarak da yazabiliriz.
- Gördüğümüz gibi, $x$'in üssü $-1$ (negatif bir sayı) olduğu için, bu ifade bir polinom değildir. Çünkü polinomlarda değişkenin üssü doğal sayı olmalıdır.
- Sadeleştirmeden Sonraki İfadeyi İnceleyelim:
- Sadeleştirilmiş ifade $f(x) = x + 3 - \frac{2}{x}$ olarak verilmiştir.
- Yukarıdaki incelememizde de gördüğümüz gibi, bu ifadede de $\frac{2}{x}$ terimi bulunmaktadır.
- Bu terim, $2x^{-1}$ olarak yazıldığında $x$'in üssü yine $-1$ (negatif bir sayı) olur.
- Dolayısıyla, sadeleştirilmiş ifade de bir polinom değildir.
- Sonuç:
- Hem sadeleştirmeden önceki ifade ($f(x) = \frac{x^2 + 3x - 2}{x}$) hem de sadeleştirmeden sonraki ifade ($f(x) = x + 3 - \frac{2}{x}$) polinom değildir. Çünkü her iki ifadede de değişken $x$ paydada bulunmaktadır (veya $x^{-1}$ şeklinde negatif üslü bir terim içerirler).
Bu durumda, doğru seçenek D seçeneğidir.
Cevap D seçeneğidir.
