Gruplandırarak çarpanlara ayırma Test 2

Bir bahçıvan, alanı \(x^2 + 7x + 10\) metrekare olan dikdörtgen şeklindeki bir çiçek tarhını, kenar uzunlukları polinom şeklinde ifade edilebilecek eş parçalara ayırmak istiyor.
Bu tarhın kenar uzunluklarının çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) \((x+1)\) ve \((x+10)\)
B) \((x+2)\) ve \((x+5)\)
C) \((x+3)\) ve \((x+4)\)
D) \((x+1)\) ve \((x+7)\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, dikdörtgen şeklindeki bir çiçek tarhının alanını veren bir ifadeyi çarpanlarına ayırarak, tarhın kenar uzunluklarını bulmamız isteniyor. Haydi bu problemi adım adım çözelim:

• 1. Problemi Anlayalım:

  Bir dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımına eşittir. Bize tarhın alanı $x^2 + 7x + 10$ metrekare olarak verilmiş. Kenar uzunlukları ise bu alan ifadesinin çarpanları olacaktır. Yani, $x^2 + 7x + 10$ ifadesini iki polinomun çarpımı şeklinde yazmalıyız.

• 2. İfadeyi Tanıyalım:

  Verilen ifade $x^2 + 7x + 10$, ikinci dereceden bir üç terimli (kuadratik trinomial) ifadedir. Bu tür ifadeleri çarpanlarına ayırmak için özel bir yöntem kullanırız.

• 3. Çarpanlara Ayırma Yöntemini Hatırlayalım:

  $x^2 + bx + c$ şeklindeki bir ifadeyi çarpanlarına ayırırken, çarpımları $c$ (sabit terim) değerini veren ve toplamları $b$ (ortadaki terimin katsayısı) değerini veren iki sayı bulmaya çalışırız. Eğer bu iki sayı $m$ ve $n$ ise, ifade $(x+m)(x+n)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.

• 4. İfademize Uygulayalım:

  Bizim ifademiz $x^2 + 7x + 10$. Burada:

  • Sabit terim ($c$) $10$'dur.
  • Ortadaki terimin katsayısı ($b$) $7$'dir.

  Şimdi, çarpımları $10$ olan ve toplamları $7$ olan iki sayı bulmalıyız.

• 5. Sayıları Bulalım:

  Çarpımları $10$ olan sayı çiftlerini düşünelim:

  • $1 \times 10 = 10$
  • $2 \times 5 = 10$
  • $(-1) \times (-10) = 10$
  • $(-2) \times (-5) = 10$

  Şimdi bu çiftlerden hangisinin toplamı $7$ yapıyor kontrol edelim:

  • $1 + 10 = 11$ (Bu değil)
  • $2 + 5 = 7$ (İşte aradığımız sayılar bunlar!)
  • $(-1) + (-10) = -11$ (Bu değil)
  • $(-2) + (-5) = -7$ (Bu değil)

  Bulduğumuz sayılar $2$ ve $5$'tir.

• 6. Çarpanları Yazalım:

  Sayıları bulduğumuza göre, $x^2 + 7x + 10$ ifadesinin çarpanları $(x+2)$ ve $(x+5)$ olacaktır.

• 7. Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı ama Faydalı):

  Bulduğumuz çarpanları çarparak orijinal ifadeyi elde edip etmediğimizi kontrol edelim:

  $(x+2)(x+5) = x \cdot x + x \cdot 5 + 2 \cdot x + 2 \cdot 5$

  $= x^2 + 5x + 2x + 10$

  $= x^2 + 7x + 10$

  Evet, doğru çarpanlara ayırmışız!

• 8. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz çarpanlar $(x+2)$ ve $(x+5)$'tir. Seçeneklere baktığımızda, B seçeneği $(x+2)$ ve $(x+5)$ olarak verilmiştir.

Cevap B seçeneğidir.