Sayı aralıklarında fark işlemi nedir (\ veya -) Test 2

1. A = [2, 7] ve B = (5, 10] kümeleri veriliyor. A \ B fark kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [2, 5]
B) [2, 5)
C) (2, 5]
D) [2, 7]

Bu soruda, iki küme arasındaki fark işlemini ($A \setminus B$) bulmamız isteniyor. Kümelerimiz aralıklar şeklinde verilmiş. Adım adım bu işlemi nasıl yapacağımızı inceleyelim:

• 1. Kümeleri Anlayalım:

  Öncelikle verilen kümelerin ne anlama geldiğini netleştirelim:

  $A = [2, 7]$ kümesi, 2 ve 7 dahil olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $A = \{x \in \mathbb{R} \mid 2 \le x \le 7\}$.

  $B = (5, 10]$ kümesi, 5 hariç, 10 dahil olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $B = \{x \in \mathbb{R} \mid 5 < x \le 10\}$.

• 2. Fark Kümesi ($A \setminus B$) Ne Demektir?

  $A \setminus B$ (A fark B) kümesi, A kümesinde olan ancak B kümesinde olmayan tüm elemanlardan oluşur. Matematiksel olarak, $A \setminus B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in A \text{ ve } x \notin B\}$.

• 3. Koşulları Belirleyelim:

  Bir elemanın $A \setminus B$ kümesinde olması için şu iki koşulu aynı anda sağlaması gerekir:

  Koşul 1: Eleman A kümesinde olmalı. Yani, $2 \le x \le 7$.

  Koşul 2: Eleman B kümesinde olmamalı. Yani, $x \notin (5, 10]$. Bir elemanın $(5, 10]$ aralığında olmaması demek, ya 5'ten küçük veya eşit olması ($x \le 5$) ya da 10'dan büyük olması ($x > 10$) demektir.

• 4. Koşulları Birleştirelim:

  Şimdi bu iki koşulu bir araya getirelim. $x$ sayısı hem $2 \le x \le 7$ olmalı hem de ($x \le 5$ veya $x > 10$) olmalı.

  Bu durumu iki ayrı senaryo olarak düşünebiliriz:

  Senaryo 1: ($2 \le x \le 7$) ve ($x \le 5$) koşullarının birlikte sağlanması. Bu iki koşulun kesişimi, $x$ sayısının hem 2 ile 7 arasında (dahil) hem de 5'ten küçük veya eşit olması demektir. Bu durumda, $x$ sayısı $2 \le x \le 5$ aralığında olmalıdır. Yani, $[2, 5]$.

  Senaryo 2: ($2 \le x \le 7$) ve ($x > 10$) koşullarının birlikte sağlanması. Bu iki koşulun kesişimi, $x$ sayısının hem 2 ile 7 arasında (dahil) hem de 10'dan büyük olması demektir. 7'den küçük veya eşit olan bir sayı aynı zamanda 10'dan büyük olamayacağı için bu senaryodan hiçbir eleman gelmez. Yani, boş küme ($\emptyset$).

• 5. Sonucu Bulalım:

  Fark kümesi, bu iki senaryodan gelen elemanların birleşimi olacaktır. Yani, $[2, 5] \cup \emptyset = [2, 5]$.

Bu durumda, $A \setminus B$ fark kümesi $[2, 5]$ olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.