Sayı aralıklarında fark işlemi nedir (\ veya -) Test 2

4. Matematik öğretmeni tahtaya A = {x | -2 ≤ x < 3, x ∈ R} ve B = {x | 1 < x ≤ 5, x ∈ R} kümelerini yazmıştır. A \ B farkını bulmak isteyen bir öğrenci hangi sonuca ulaşır?

A) [-2, 1]
B) [-2, 1)
C) (-2, 1]
D) [-2, 3]

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda kümelerle ilgili temel bir işlemi, fark alma işlemini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek doğru sonuca ulaşalım.

• Adım 1: Kümeleri Anlamak ve Aralık Gösterimine Çevirmek

  Öncelikle verilen kümeleri daha anlaşılır bir şekilde, aralık notasyonuyla yazalım:

  $A = \{x \mid -2 \le x < 3, x \in R\}$ kümesi, $-2$ dahil olmak üzere $3$ hariç tüm reel sayıları içerir. Bu kümeyi aralık olarak $A = [-2, 3)$ şeklinde gösterebiliriz.

  $B = \{x \mid 1 < x \le 5, x \in R\}$ kümesi, $1$ hariç olmak üzere $5$ dahil tüm reel sayıları içerir. Bu kümeyi aralık olarak $B = (1, 5]$ şeklinde gösterebiliriz.

• Adım 2: $A \setminus B$ Fark Kümesini Anlamak

  $A \setminus B$ (A fark B) kümesi, A kümesinde bulunan ancak B kümesinde bulunmayan tüm elemanlardan oluşur. Başka bir deyişle, A kümesinden B kümesiyle ortak olan kısımları çıkarmamız gerekir.

• Adım 3: Sayı Doğrusunda Görselleştirme (İsteğe Bağlı ama Faydalı)

  Bu tür soruları sayı doğrusu üzerinde düşünmek çok yardımcı olur:

  A kümesi: $-2$'den başlayıp (dahil) $3$'e kadar (hariç) uzanan bir aralıktır.

  B kümesi: $1$'den başlayıp (hariç) $5$'e kadar (dahil) uzanan bir aralıktır.

  Şimdi A kümesinden B kümesinin A ile kesişen kısmını çıkaracağız.

• Adım 4: Kesişim Bölgesini Belirlemek

  A ve B kümelerinin kesişimini, yani ortak elemanlarını bulalım. Bu, her iki kümenin de aynı anda var olduğu bölgedir:

  A kümesi $A = [-2, 3)$

  B kümesi $B = (1, 5]$

  Her iki kümenin de ortak olduğu bölge $1$'den büyük ve $3$'ten küçük sayılardır. Yani kesişim $A \cap B = (1, 3)$ aralığıdır.

• Adım 5: Fark Kümesini Hesaplamak

  Şimdi $A$ kümesinden $A \cap B$ kümesini çıkaralım:

  $A = [-2, 3)$

  Çıkaracağımız kısım $A \cap B = (1, 3)$

  A kümesi $[-2, 3)$ aralığındaki tüm sayıları içerir. Biz bu aralıktan $(1, 3)$ aralığını çıkarıyoruz. Yani $1$'den $3$'e kadar olan ( $1$ ve $3$ hariç) sayıları atıyoruz.

  Bu durumda, A kümesinin $-2$'den $1$'e kadar olan kısmı kalır. Peki $1$ sayısı bu fark kümesine dahil mi?

  $1$ sayısı A kümesinin içindedir (çünkü $-2 \le 1 < 3$).

  $1$ sayısı B kümesinin içinde değildir (çünkü $1 < x \le 5$ tanımında $x$ $1$'den büyüktür).

  Dolayısıyla $1$ sayısı A kümesinde olup B kümesinde olmadığı için $A \setminus B$ kümesine dahildir.

  Bu durumda, $A \setminus B$ kümesi $-2$'den $1$'e kadar olan ve $1$ dahil tüm sayıları içerir.

  Yani $A \setminus B = [-2, 1]$ olur.

• Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştırmak

  Bulduğumuz sonuç olan $[-2, 1]$ aralığı, seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.