7. A = [0, 8] ve B = (3, 10) kümeleri veriliyor. B \ A farkının eleman sayısı sonsuz olmasına rağmen, hangi aralıkta yer alır?
A) (8, 10)
B) [8, 10)
C) (3, 8]
D) (3, 8)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki farklı küme arasındaki fark işlemini ve bu farkın hangi aralığa karşılık geldiğini bulacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.
-
1. Kümeleri Anlayalım:
- İlk olarak verilen kümeleri inceleyelim:
- $A = [0, 8]$ kümesi, 0 ve 8 dahil olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $0 \le x \le 8$ koşulunu sağlayan $x$ gerçek sayılarından oluşur. Köşeli parantez, uç noktaların kümeye dahil olduğunu gösterir.
- $B = (3, 10)$ kümesi, 3 ve 10 hariç olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $3 < x < 10$ koşulunu sağlayan $x$ gerçek sayılarından oluşur. Normal parantez, uç noktaların kümeye dahil olmadığını gösterir.
-
2. Fark İşlemini Tanımlayalım ($B \setminus A$):
- $B \setminus A$ işlemi, "B fark A" olarak okunur ve $B$ kümesinde olup $A$ kümesinde olmayan tüm elemanları içeren kümeyi ifade eder.
- Başka bir deyişle, $B$ kümesinin elemanlarından, $A$ kümesiyle ortak olan kısımlarını çıkaracağız.
-
3. Sayı Doğrusunda Görselleştirelim:
- Bir sayı doğrusu hayal edelim ve üzerine 0, 3, 8, 10 noktalarını işaretleyelim.
- $A = [0, 8]$ kümesi, 0'dan başlayıp 8'e kadar uzanan (0 ve 8 dahil) bir aralıktır.
- $B = (3, 10)$ kümesi, 3'ten başlayıp 10'a kadar uzanan (3 ve 10 hariç) bir aralıktır.
-
4. Fark Kümesini Bulalım ($B \setminus A$):
- Biz $B$ kümesindeki elemanlardan, $A$ kümesinde de bulunanları çıkarmak istiyoruz.
- $B$ kümesi $(3, 10)$ aralığındaki sayılardan oluşur.
- $A$ kümesi $[0, 8]$ aralığındaki sayılardan oluşur.
- $B$ kümesinin $A$ kümesiyle kesişen (ortak olan) kısmı hangi sayılardır? $B$ kümesi 3'ten büyük sayılarla başlar, $A$ kümesi ise 8'de biter (8 dahil). Dolayısıyla, $B$ ve $A$'nın ortak kısmı $(3, 8]$ aralığıdır. Yani, $3 < x \le 8$ koşulunu sağlayan sayılar hem $B$'de hem de $A$'dadır.
- Şimdi $B$ kümesinden bu ortak kısmı çıkaralım:
- $B = (3, 10)$
- $A$ ile ortak olan kısım: $(3, 8]$
- $B \setminus A$ demek, $B$ kümesindeki elemanlardan $x \in A$ olanları çıkarmak demektir. Yani $x \in B$ ve $x \notin A$ olmalıdır.
- $x \in B$ ise $3 < x < 10$.
- $x \notin A$ ise $x < 0$ veya $x > 8$.
- Bu iki koşulu birleştirdiğimizde:
- $3 < x < 10$ ve ($x < 0$ veya $x > 8$)
- $x > 3$ olduğu için $x < 0$ koşulu sağlanamaz.
- Geriye kalan koşul: $3 < x < 10$ ve $x > 8$.
- Bu iki koşulun birlikte sağlanması için $x$'in hem 8'den büyük hem de 10'dan küçük olması gerekir.
- Yani, $8 < x < 10$.
- Bu da $(8, 10)$ aralığına karşılık gelir.
- Bu aralıktaki eleman sayısı sonsuzdur, çünkü gerçek sayılar kümesinde iki sayı arasında sonsuz sayıda başka gerçek sayı bulunur.
-
5. Sonucu Değerlendirelim:
- Bulduğumuz aralık $(8, 10)$'dur. Bu aralık, seçeneklerde A şıkkında verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
