9. Reel sayılarda tanımlı A = {x | -4 < x ≤ 2} ve B = {x | -1 ≤ x < 3} kümeleri veriliyor. A \ B fark kümesi hangi aralıktır?
A) (-4, -1)Sevgili Öğrenciler,
Bu soruda, reel sayılarda tanımlı iki küme arasındaki fark kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
1. Adım: Kümeleri Anlayalım ve Sayı Doğrusunda Gösterelim
Öncelikle verilen kümeleri ve ne anlama geldiklerini netleştirelim:
$A = \{x | -4 < x \leq 2\}$ kümesi, $-4$'ten büyük ve $2$'ye eşit veya $2$'den küçük tüm reel sayıları içerir. Bu aralık gösterimiyle $A = (-4, 2]$ şeklinde yazılır. (Burada $(-4$ açık aralık, yani $-4$ dahil değil; $2]$ kapalı aralık, yani $2$ dahil.)
$B = \{x | -1 \leq x < 3\}$ kümesi, $-1$'e eşit veya $-1$'den büyük ve $3$'ten küçük tüm reel sayıları içerir. Bu aralık gösterimiyle $B = [-1, 3)$ şeklinde yazılır. (Burada $[-1$ kapalı aralık, yani $-1$ dahil; $3)$ açık aralık, yani $3$ dahil değil.)
Bu kümeleri bir sayı doğrusu üzerinde hayal etmek, çözüm için çok faydalıdır.
2. Adım: Fark Kümesinin Tanımını Hatırlayalım
$A \setminus B$ (A fark B) kümesi, A kümesinde olan ancak B kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. Yani, $x \in A$ ve $x \notin B$ koşulunu sağlayan $x$ değerlerini arıyoruz.
3. Adım: $x \notin B$ Koşulunu Belirleyelim
Eğer $x \in B$ ise $-1 \leq x < 3$ olur. O zaman $x \notin B$ olması için $x$'in bu aralıkta olmaması gerekir. Bu da demektir ki $x < -1$ veya $x \geq 3$ olmalıdır.
4. Adım: $A \setminus B$ Kümesini Bulmak İçin Koşulları Birleştirelim
Şimdi $x \in A$ ve $x \notin B$ koşullarını birleştirelim:
$(-4 < x \leq 2)$ VE ($x < -1$ VEYA $x \geq 3$)
Bu ifadeyi iki ayrı durum olarak inceleyebiliriz:
Durum 1: $(-4 < x \leq 2)$ VE ($x < -1$)
Bu iki koşulun kesişimini bulmalıyız. Sayı doğrusunda, $-4$'ten büyük ve $2$'ye eşit veya küçük olan sayılar ile $-1$'den küçük olan sayıların ortak kısmı $(-4, -1)$ aralığıdır. Yani $-4 < x < -1$.
Durum 2: $(-4 < x \leq 2)$ VE ($x \geq 3$)
Bu iki koşulun kesişimini bulmalıyız. Sayı doğrusunda, $-4$'ten büyük ve $2$'ye eşit veya küçük olan sayılar ile $3$'e eşit veya büyük olan sayıların ortak bir kısmı yoktur. Bu kesişim boş kümedir ($\emptyset$).
5. Adım: Sonucu Birleştirelim
$A \setminus B$ kümesi, Durum 1 ve Durum 2'nin birleşimidir:
$(-4, -1) \cup \emptyset = (-4, -1)$
Yani, $A \setminus B$ fark kümesi $(-4, -1)$ aralığıdır.
Bu sonuca göre seçenekleri incelediğimizde, doğru cevabın A seçeneği olduğunu görürüz.
Cevap A seçeneğidir.
