Gerçek sayılarda A = (-∞, 3] ve B = [1, 5) aralıkları veriliyor. A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-∞, 3]
B) (-∞, 5)
C) [1, 3]
D) (-∞, 5]
Merhaba sevgili öğrenciler!
Gerçek sayılarda verilen iki aralığın birleşimini bulmak için adım adım ilerleyelim. Bu tür soruları çözerken sayı doğrusunu hayal etmek veya çizmek işimizi çok kolaylaştırır.
- Adım 1: Verilen Kümeleri Anlayalım
- İlk kümemiz $A = (-\infty, 3]$ olarak verilmiş. Bu, 3'e eşit veya 3'ten küçük olan tüm gerçek sayıları ifade eder. Sayı doğrusunda soldan sonsuza kadar uzanır ve 3 noktasında (3 dahil) biter.
- İkinci kümemiz $B = [1, 5)$ olarak verilmiş. Bu, 1'e eşit veya 1'den büyük ve 5'ten küçük olan tüm gerçek sayıları ifade eder. Sayı doğrusunda 1 noktasından (1 dahil) başlar ve 5 noktasına kadar (5 hariç) devam eder.
- Adım 2: Birleşim Kümesinin Tanımını Hatırlayalım
- İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), bu kümelerden en az birinde bulunan tüm elemanları içeren kümedir. Basitçe söylemek gerekirse, $A \cup B$ kümesi, A kümesindeki elemanlarla B kümesindeki elemanların hepsini bir araya getirir. Yani, bu iki aralığın kapsadığı tüm sayıları tek bir aralıkta toplamamız gerekiyor.
- Adım 3: Sayı Doğrusunda Görselleştirelim ve Birleştirelim
- A kümesi $(-\infty, 3]$: Sayı doğrusunda soldan sonsuzdan gelir ve 3'te durur (3 dahil).
- B kümesi $[1, 5)$: Sayı doğrusunda 1'den başlar (1 dahil) ve 5'e kadar gider (5 hariç).
- Şimdi bu iki aralığı birleştirdiğimizde, en soldaki noktadan (yani $-\infty$) başlayıp, en sağdaki noktaya (yani 5'e, 5 dahil değil) kadar olan tüm sayıları kapsarız.
- A kümesi 3'e kadar olan tüm sayıları kapsarken, B kümesi 1'den başlayıp 5'e kadar (5 hariç) uzanarak A kümesinin bittiği 3 noktasının ötesine geçmektedir. Bu durumda, birleşim kümesi en soldaki sınırdan (yani $-\infty$) başlayıp, en sağdaki sınıra (yani 5'e, 5 hariç) kadar devam edecektir.
- Adım 4: Birleşim Kümesini Belirleyelim
- Bu durumda, $A \cup B$ kümesi $-\infty$'dan 5'e kadar olan tüm sayıları (5 hariç) kapsar. Bu da $(-\infty, 5)$ aralığıdır.
- Adım 5: Seçenekleri Kontrol Edelim
- A) $(-\infty, 3]$: Bu sadece A kümesidir, B kümesinin 3'ten büyük kısmını kapsamaz.
- B) $(-\infty, 5)$: Bu, bizim bulduğumuz sonuçtur. $-\infty$'dan 5'e kadar olan tüm sayıları (5 hariç) içerir.
- C) $[1, 3]$: Bu, A ve B kümelerinin kesişim kümesinin bir parçasıdır, birleşim kümesi değildir.
- D) $(-\infty, 5]$: Bu seçenek 5'i de içerir, ancak B kümesi 5'i içermediği için birleşim kümesi de 5'i içermez.
Cevap B seçeneğidir.
