10. Sınıf Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları Test 2

A(2,3) ve B(8,7) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasını 1:3 oranında içten bölen noktanın koordinatları nedir?

A) (3.5, 4)
B) (3, 3.5)
C) (4, 4.5)
D) (2.5, 3)

Bugün, iki nokta arasında bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Bu tür problemler geometride ve analitik geometride sıkça karşımıza çıkar.

Sorumuzda $A(2,3)$ ve $B(8,7)$ noktaları verilmiş ve $[AB]$ doğru parçasını $1:3$ oranında içten bölen noktanın koordinatları isteniyor.

• Adım 1: İçten Bölme Formülünü Hatırlayalım

• Bir $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $k:m$ oranında içten bölen $P(x, y)$ noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:

  $x = \frac{m \cdot x_1 + k \cdot x_2}{k+m}$

  $y = \frac{m \cdot y_1 + k \cdot y_2}{k+m}$

  Bu formülleri ezberlemek yerine mantığını anlamak daha kalıcı olacaktır. Oran $k:m$ olduğunda, $A$ noktasına $m$ katsayısı, $B$ noktasına ise $k$ katsayısı gelir. Paydada ise oranların toplamı ($k+m$) bulunur.

• Adım 2: Verilen Değerleri Belirleyelim

• Sorumuzdaki değerleri formüldeki yerlerine yerleştirelim:

  $A(x_1, y_1) = A(2, 3) \implies x_1 = 2, y_1 = 3$

  $B(x_2, y_2) = B(8, 7) \implies x_2 = 8, y_2 = 7$

  Bölme oranı $k:m = 1:3 \implies k = 1, m = 3$

• Adım 3: x-koordinatını Hesaplayalım

• Şimdi $x$ koordinatı için formülü kullanalım:

  $x = \frac{m \cdot x_1 + k \cdot x_2}{k+m}$

  $x = \frac{3 \cdot 2 + 1 \cdot 8}{1+3}$

  $x = \frac{6 + 8}{4}$

  $x = \frac{14}{4}$

  $x = 3.5$

• Adım 4: y-koordinatını Hesaplayalım

• Benzer şekilde $y$ koordinatı için formülü kullanalım:

  $y = \frac{m \cdot y_1 + k \cdot y_2}{k+m}$

  $y = \frac{3 \cdot 3 + 1 \cdot 7}{1+3}$

  $y = \frac{9 + 7}{4}$

  $y = \frac{16}{4}$

  $y = 4$

• Adım 5: Sonucu Belirleyelim

• Hesaplamalarımız sonucunda, $[AB]$ doğru parçasını $1:3$ oranında içten bölen noktanın koordinatları $P(3.5, 4)$ olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.