Bir eşkenar üçgen kendi ağırlık merkezi etrafında 120° döndürüldüğünde, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğru olur?
A) Üçgenin görüntüsü orijinalinden farklıdır
B) Üçgenin görüntüsü orijinaliyle çakışır
C) Üçgenin alanı değişir
D) Üçgenin çevresi değişir
Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım inceleyerek doğru cevabı bulalım:
- Eşkenar Üçgenin Özellikleri: Bir eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları eşit ve tüm iç açıları $60^\circ$ olan özel bir üçgendir. Bu özellikleri sayesinde yüksek derecede simetriye sahiptir.
- Ağırlık Merkezi: Bir üçgenin ağırlık merkezi, kenarortayların kesişim noktasıdır. Eşkenar üçgende ağırlık merkezi, aynı zamanda çevrel çemberin merkezi, iç teğet çemberin merkezi ve diklik merkezi gibi diğer önemli noktalarla çakışır. Bu nokta, üçgenin tam ortasında, yani simetri merkezindedir.
- Dönme Simetrisi: Bir şeklin kendi etrafında belirli bir açıyla döndürüldüğünde başlangıçtaki görüntüsüyle çakışmasına dönme simetrisi denir. Bir eşkenar üçgen, düzenli bir çokgen (bir düzgün $n$-gen) olduğu için dönme simetrisine sahiptir. Düzgün bir $n$-genin dönme simetri açısı $360^\circ / n$ formülüyle bulunur.
- Eşkenar Üçgen İçin Dönme Simetrisi: Eşkenar üçgen, $n=3$ kenarlı bir düzgün çokgendir. Bu durumda, eşkenar üçgenin dönme simetri açısı $360^\circ / 3 = 120^\circ$ olur. Bu, eşkenar üçgenin ağırlık merkezi etrafında $120^\circ$, $240^\circ$ veya $360^\circ$ (tam tur) döndürüldüğünde, orijinal görüntüsüyle tamamen çakışacağı anlamına gelir.
- Sorudaki Dönme Açısı: Soru, üçgenin ağırlık merkezi etrafında $120^\circ$ döndürüldüğünü belirtiyor. Bu açı, eşkenar üçgenin dönme simetri açısıdır.
- Seçenekleri Değerlendirme:
- A) Üçgenin görüntüsü orijinalinden farklıdır: Bu ifade yanlıştır. Çünkü $120^\circ$ dönme, üçgeni orijinal konumuyla çakıştırır.
- B) Üçgenin görüntüsü orijinaliyle çakışır: Bu ifade doğrudur. Eşkenar üçgenin $120^\circ$ dönme simetrisi olduğu için, bu açıyla döndürüldüğünde kendisiyle örtüşür.
- C) Üçgenin alanı değişir: Dönme (rotasyon), bir izometri (rijit dönüşüm) türüdür. İzometriler, şeklin boyutunu ve biçimini değiştirmez. Dolayısıyla, üçgenin alanı değişmez.
- D) Üçgenin çevresi değişir: Alan gibi, çevre de bir izometri olan dönme işlemi sırasında değişmez. Şeklin kendisi değişmediği için çevresi de aynı kalır.
Bu analizlere göre, eşkenar üçgen ağırlık merkezi etrafında $120^\circ$ döndürüldüğünde, görüntüsü orijinaliyle çakışır.
Cevap B seçeneğidir.
