Bu problemde, binom katsayılarının bir toplamı verilmiş ve bu toplamı kullanarak $n$ değerini bulmamız, ardından da $\binom{n}{3}$ değerini hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
-
Binom Katsayıları Toplamını Tanıma: Verilen eşitlik $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + ... + \binom{n}{n} = 256$ şeklindedir. Matematikte, bir $n$ değeri için tüm binom katsayılarının toplamının $2^n$ olduğunu biliyoruz. Yani, $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ formülü geçerlidir.
-
$n$ Değerini Bulma: Bu bilgiye göre, verilen eşitliği $2^n = 256$ şeklinde yazabiliriz.
-
Üslü İfadeyi Çözme: Şimdi $2^n = 256$ denklemini çözmeliyiz. $256$ sayısını $2$'nin kuvveti olarak ifade edelim: $256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8$.
-
$n$ Değerini Belirleme: Eşitliğimiz $2^n = 2^8$ haline geldi. Tabanlar aynı olduğuna göre, üsler de eşit olmalıdır. Buradan $n=8$ sonucunu buluruz.
-
İstenen Değeri Hesaplama: Soru bizden $\binom{n}{3}$ değerini bulmamızı istiyor. $n=8$ olduğuna göre, $\binom{8}{3}$ değerini hesaplamalıyız.
-
Binom Katsayısı Formülünü Kullanma: Binom katsayısı $\binom{n}{k}$'nin formülü $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir. Bu formülü kullanarak $\binom{8}{3}$'ü hesaplayalım:
$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}$
-
Faktöriyelleri Açma ve Sadeleştirme: Faktöriyelleri açarak sadeleştirme yapalım:
$\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!}$
Paydaki ve paydadaki $5!$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
$\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}$
Paydadaki $3 \times 2 \times 1 = 6$ olduğu için, paydaki $6$ ile sadeleşir:
$\binom{8}{3} = 8 \times 7 = 56$
Buna göre, $\binom{n}{3}$ değeri $56$'dır.
Cevap A seçeneğidir.
