Üslü sayılarla ilgili harika bir problem çözeceğiz. Problemimiz $ \frac{27^4}{9^5} $ işleminin sonucunu bulmaktır.
- Adım 1: Ortak Tabanı Belirleme
- İşlemdeki sayılar 27 ve 9'dur. Bu sayıların her ikisini de aynı tabanda yazabiliriz. Gördüğümüz gibi, hem 27 hem de 9, 3'ün kuvvetleridir:
- $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$
- $9 = 3 \times 3 = 3^2$
- Bu, problemimizi daha basit bir hale getirmemizi sağlayacak!
- Adım 2: Üslü İfadeleri Yeniden Yazma
- Şimdi, 27 ve 9 yerine 3 tabanındaki karşılıklarını yazalım:
- $27^4 = (3^3)^4$
- $9^5 = (3^2)^5$
- Adım 3: Üssün Üssü Kuralını Uygulama
- Üslü sayılarda bir sayının üssünün tekrar üssü alındığında, üsler çarpılır. Yani $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ kuralını kullanacağız:
- Pay kısmındaki ifade: $(3^3)^4 = 3^{3 \times 4} = 3^{12}$
- Payda kısmındaki ifade: $(3^2)^5 = 3^{2 \times 5} = 3^{10}$
- Şimdi işlemimiz $ \frac{3^{12}}{3^{10}} $ şekline dönüştü.
- Adım 4: Bölme İşleminde Üsleri Çıkarma Kuralını Uygulama
- Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. Yani $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ kuralını kullanacağız:
- $ \frac{3^{12}}{3^{10}} = 3^{12-10} = 3^2 $
- Adım 5: Sonucu Hesaplama
- Son olarak, $3^2$ ifadesinin değerini bulalım:
- $3^2 = 3 \times 3 = 9$
İşlemin sonucu 9'dur.
Cevap A seçeneğidir.
