📈 Düşey Asimptot Nedir?
Bir fonksiyonun düşey asimptotu, fonksiyonun grafiğinin sonsuza yaklaştığı (pozitif veya negatif sonsuz) dikey çizgidir. Başka bir deyişle, fonksiyonun bu çizgiye yaklaşırken değerlerinin sınırsızca arttığı veya azaldığı x değerleridir.
🎯 Düşey Asimptot Nasıl Bulunur?
Genellikle, bir rasyonel fonksiyonun (kesirli ifadenin) paydasını sıfır yapan ve payı sıfır yapmayan x değerlerinde düşey asimptot bulunur.
- 🧮 Adım 1: Fonksiyonun paydasını sıfıra eşitle: \( Q(x) = 0 \)
- 🧮 Adım 2: Bu denklemin çözümlerini bul.
- 🧮 Adım 3: Bulduğun x değerlerinin, payı da sıfır yapıp yapmadığını kontrol et. Eğer payı sıfır yapmıyorsa, o x değeri bir düşey asimptottur. (Eğer payı da sıfır yapıyorsa, bu noktada bir "sıfır belirsizliği" olabilir ve bu durum delik (sökülebilir süreksizlik) oluşturabilir, asimptot oluşturmayabilir.)
📝 Örnek 1: Temel Bir Rasyonel Fonksiyon
\( f(x) = \frac{1}{x-2} \) fonksiyonunu ele alalım.
- Payda: \( x - 2 \)
- Paydayı sıfıra eşitlersek: \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \)
- x = 2 değeri payı sıfır yapmaz (pay sabit 1'dir).
✅ Sonuç: Bu fonksiyonun \( x = 2 \) doğrusunda bir düşey asimptotu vardır. Grafik, x 2'ye soldan yaklaşırken \( -\infty \), sağdan yaklaşırken \( +\infty \)'a gider.
📝 Örnek 2: Sadeleştirme Gerektiren Fonksiyon
\( g(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) fonksiyonunu inceleyelim.
- İlk bakışta, payda \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \)
- Ancak, paya da bakalım: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \). Yani fonksiyon \( g(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \) şeklinde yazılabilir.
- x ≠ 2 için ifade sadeleşir: \( g(x) = x + 2 \)
❌ Sonuç: Bu fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında bir delik vardır, düşey asimptotu yoktur. Grafik, x=2 hariç, y = x+2 doğrusunun aynısıdır.
💡 Önemli Noktalar
- ➡️ Düşey asimptot her zaman bir x = a şeklinde dikey bir doğrudur.
- ➡️ Bir fonksiyonun bir noktada düşey asimptotu olması için, o noktadaki limitlerden en az birinin sonsuz (\( +\infty \) veya \( -\infty \)) olması gerekir.
- ➡️ Logaritmik fonksiyonlar (örneğin, \( y = \log(x) \)) da tanım kümesinin sınırında düşey asimptota sahip olabilir. (\( y = \log(x) \) fonksiyonunun \( x = 0 \)'da düşey asimptotu vardır.)
