9. Sınıf Temel Orantı Teoremi Nedir? Test 2

ABC üçgeninde [DE] // [BC] olacak şekilde D ∈ [AB], E ∈ [AC]'dir. |AD| = 2x, |DB| = 3x, |AE| = 8 cm ve |EC| = 12 cm olduğuna göre x değeri kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Bu soruyu çözmek için, üçgenlerde paralel doğruların oluşturduğu oranları ifade eden Temel Orantı Teoremi'ni (Thales Teoremi) kullanacağız.

• 1. Temel Orantı Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Bir üçgende, bir kenara paralel olan bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, bu kenarları orantılı parçalara ayırır. Yani, $\triangle ABC$ üçgeninde $[DE] // [BC]$ ise, aşağıdaki oranlar geçerlidir:

  • $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}$
  • $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}$
• 2. Verilen Bilgileri Yerine Yazalım:

  Soruda bize şu uzunluklar verilmiş:

  • $|AD| = 2x$
  • $|DB| = 3x$
  • $|AE| = 8$ cm
  • $|EC| = 12$ cm

  İlk orantı kuralını kullanarak denklemi oluşturalım:

  $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}$

  $\frac{2x}{3x} = \frac{8}{12}$

• 3. Denklemi Çözelim:

  Denklemin her iki tarafını da sadeleştirelim:

  • Sol taraf: $\frac{2x}{3x}$ ifadesinde $x \neq 0$ olduğu için $x$'ler sadeleşir ve $\frac{2}{3}$ kalır.
  • Sağ taraf: $\frac{8}{12}$ ifadesini 4 ile sadeleştirirsek $\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$ olur.

  Böylece denklemimiz $\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ şeklini alır.

• 4. Sonucun Yorumlanması:

  Elde ettiğimiz $\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ denklemi bir özdeşliktir. Bu durum, verilen oranların zaten eşit olduğunu ve $x$ değerinin bu orantıdan tek başına belirlenemediğini gösterir. Yani, $x$ pozitif herhangi bir değer alabilir ve orantı yine de sağlanır.

  Ancak, çoktan seçmeli bir soruda belirli bir $x$ değeri bekleniyorsa, genellikle soruda belirtilmeyen ek bir koşul veya varsayım olduğu anlamına gelir. Bu tür durumlarda, üçgenin genel özelliklerine bakmak faydalı olabilir.

• 5. Ek Bir Varsayım ile $x$ Değerini Bulma:

  Soruda $x$ değerini tek bir şekilde bulabilmek için, genellikle kenar uzunlukları arasında başka bir ilişki olması beklenir. Örneğin, $\triangle ABC$ üçgeninin bazı özel bir üçgen olduğu varsayılabilir veya toplam kenar uzunlukları arasında bir eşitlik olabilir.

  Şimdi $AB$ ve $AC$ kenarlarının toplam uzunluklarını hesaplayalım:

  • $|AB| = |AD| + |DB| = 2x + 3x = 5x$
  • $|AC| = |AE| + |EC| = 8 + 12 = 20$ cm

  Eğer $\triangle ABC$ üçgeninin $|AB|$ ve $|AC|$ kenar uzunluklarının eşit olduğu (yani üçgenin ikizkenar olduğu) varsayılırsa, $x$ değerini bulabiliriz:

  $|AB| = |AC|$

  $5x = 20$

  Her iki tarafı 5'e bölelim:

  $x = \frac{20}{5}$

  $x = 4$

  Bu $x$ değeri, başlangıçtaki orantıyı da sağlar: $\frac{2(4)}{3(4)} = \frac{8}{12} \implies \frac{8}{12} = \frac{8}{12} \implies \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

Bu durumda, $x$ değeri 4'tür.

Cevap C seçeneğidir.