Binom açılımında sabit terim nasıl bulunur Test 2

$(x + \frac{1}{x^2})^9$ ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?

A) 0
B) 36
C) 84
D) 126

Adım 1: Binom Teoremi Genel Terim Formülünü Hatırlayalım

Bir $(a+b)^n$ ifadesinin açılımındaki herhangi bir terim (genel terim) $T_{r+1}$ şu formülle bulunur:

$T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

Adım 2: İfademizdeki Değerleri Belirleyelim

Verilen ifade $(x + \frac{1}{x^2})^9$ şeklindedir.

Burada:

$n = 9$ (üs)

$a = x$ (ilk terim)

$b = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ (ikinci terim)

Adım 3: Genel Terimi Yazalım

Belirlediğimiz değerleri genel terim formülünde yerine koyalım:

$T_{r+1} = \binom{9}{r} (x)^{9-r} (x^{-2})^r$

$T_{r+1} = \binom{9}{r} x^{9-r} x^{-2r}$

Adım 4: $x$ Teriminin Üssünü Düzenleyelim

Üslü sayılar kuralına göre, tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır ($x^m \cdot x^k = x^{m+k}$):

$T_{r+1} = \binom{9}{r} x^{(9-r) + (-2r)}$

$T_{r+1} = \binom{9}{r} x^{9-3r}$

Adım 5: Sabit Terim İçin $x$'in Üssünü Sıfıra Eşitleyelim

Sabit terim, $x$ değişkenini içermeyen terimdir, yani $x^0$ terimidir. Bu nedenle, $x$'in üssünü $0$'a eşitlemeliyiz:

$9 - 3r = 0$

$3r = 9$

$r = 3$

Bu $r$ değeri, açılımdaki terimlerden birinin sabit terim olduğunu gösterir, çünkü $r$ bir tam sayıdır ve $0 \le r \le n$ koşulunu sağlar ($0 \le 3 \le 9$).

Adım 6: Sabit Terimi Hesaplayalım

$r=3$ değerini genel terim formülündeki binom katsayısına ve $x$ terimine yerine koyalım:

Sabit Terim $= \binom{9}{3} x^{9-3(3)}$

Sabit Terim $= \binom{9}{3} x^{9-9}$

Sabit Terim $= \binom{9}{3} x^0$

Sabit Terim $= \binom{9}{3} \times 1$

Şimdi $\binom{9}{3}$ değerini hesaplayalım:

$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}$

$\binom{9}{3} = \frac{504}{6} = 84$

Bu durumda, açılımdaki sabit terim $84$'tür.

Cevap A seçeneğidir.