Koordinat sisteminde (3, -1) noktası, f fonksiyonunun grafiği üzerindedir. f fonksiyonu ile tersinin grafikleri y = x doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, f⁻¹ fonksiyonunun grafiği üzerinde hangi nokta bulunur?
A) (3, -1)
B) (-1, 3)
C) (1, -3)
D) (-3, 1)
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruyu çözmek için fonksiyonlar ve ters fonksiyonlar arasındaki temel ilişkiyi ve koordinat sistemindeki simetri kavramını anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- Verilen Bilgi: Bize $f$ fonksiyonunun grafiği üzerinde $(3, -1)$ noktasının bulunduğu söyleniyor. Bu bilgi, $f(3) = -1$ anlamına gelir. Yani, $x$ değeri $3$ iken, $f(x)$ değeri $-1$'dir.
- Temel Kural: Fonksiyon ve Ters Fonksiyon Grafikleri Arasındaki İlişki: Bir $f$ fonksiyonunun grafiği ile tersi olan $f^{-1}$ fonksiyonunun grafiği, her zaman $y = x$ doğrusuna göre simetriktir. Bu, fonksiyonlar konusundaki en temel ve önemli özelliklerden biridir.
- Simetrinin Noktalar Üzerindeki Etkisi: Eğer bir nokta $(a, b)$ bir fonksiyonun grafiği üzerindeyse, o fonksiyonun tersinin grafiği üzerinde bu noktanın $y = x$ doğrusuna göre simetriği olan nokta bulunur. $y = x$ doğrusuna göre simetri, bir noktanın koordinatlarının yer değiştirmesiyle elde edilir. Yani, eğer $(a, b)$ noktası $f$ fonksiyonunun grafiği üzerindeyse, o zaman $(b, a)$ noktası $f^{-1}$ fonksiyonunun grafiği üzerinde bulunur. Bunun nedeni, $f(a) = b$ iken, ters fonksiyonun tanımı gereği $f^{-1}(b) = a$ olmasıdır.
- Uygulama: Sorumuzda, $(3, -1)$ noktası $f$ fonksiyonunun grafiği üzerindedir. Yukarıdaki kurala göre, $f^{-1}$ fonksiyonunun grafiği üzerinde bu noktanın koordinatları yer değiştirmiş hali bulunacaktır.
- Sonuç: $(3, -1)$ noktasının koordinatlarını yer değiştirdiğimizde $(-1, 3)$ noktasını elde ederiz. Bu nedenle, $f^{-1}$ fonksiyonunun grafiği üzerinde $(-1, 3)$ noktası bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
